带有随机效应的广义空间自回归模型的统计推断

The spatial autoregressive model under normal specification cannot be adopted directly to analyze the non-normal, discrete or skewed spatial data with complex correlation structure. Based on the penalized quasi-log-likelihood function, the project will introduce the spatial weights matrix into the expression of generalized linear mixed model and propose a new generalized spatial autoregressive model with random effects. This model can be adopted to study the spatial data with complicated structure. Due to the embedded spatial weight matrix, the generalized spatial autoregressive model can extract the underlying prior information from the geographic space and improve the efficiency of statistical inference procedure. The estimation problems (including estimation method, large sample proterties and asymptotic distribution) of the fixed/random effects and autoregressive parameter of the proposed model will then be studied. Based on these, the definition of conditional Akaike information will be extended to the current setting and its asymptotically unbiased estimator (i.e. conditional Akaike information criterion) will be derived. The model selection performance of the derived criterion will also be assessed. Finally, based on the robustified penalized quasi-log-likelihood function, the corresponding robust estimators will be developed and their properties will be studied in the presence of outliers. The study of these problems will substantially enrich the statistical inference theory in the domain of spatial data analysis and generalized linear mixed model and extend the use of corresponding models in application.

正态假定下的空间自回归模型无法分析非正态型、离散型或者具有偏态分布，且拥有复杂相关结构的空间数据。依托惩罚准对数似然函数，本项目拟将空间权重矩阵引入广义线性混合模型的表达式，从而构造一种带有随机效应的广义空间自回归模型，以研究上述拥有复杂结构的空间数据。因引入了空间权重矩阵，这类模型可充分利用已存在于地理空间中的先验信息，提高统计推断之效率。针对此模型中固定/随机效应以及自回归参数之估计理论（包括估计方法、大样本性质和渐近分布）的研究也将展开。基于这些结果，将推广条件赤池信息量的定义到该模型，并给出其渐近无偏估计即条件赤池信息准则，同时研究该准则用于模型选择时的表现。最终，将依托稳健化惩罚准对数似然函数，推导出相应的稳健估计并研究其在异常点存在时的统计性质。上述工作的完成将大大推动空间数据分析、广义线性混合模型统计推断理论的发展和应用。

项目组围绕项目申请书和计划书开展了一系列创新性研究，在下列方面取得了多项研究成果和阶段性成果：给出了广义线性模型和广义线性混合效应模型中的模型平均估计，证明了其渐近最优性。该工作克服了一系列理论困难，首次将最优模型平均理论从线性模型拓展到了广义线性模型和广义线性混合效应模型的领域，开拓了新的理论工具和技术路线；针对带有随机效应的泊松混合模型和零膨胀泊松回归模型的模型选择问题，在条件推断的框架下，依托Stein-Chen引理和数据扰动技术，给出了上述模型的条件赤池信息准则。该工作首次将数据扰动技术和条件推断融合起来，系统解决了带有随机效应的泊松混合模型和零膨胀泊松回归模型的模型选择问题，所使用的技术路线亦可被推广到其他混合模型的场合；此外，给出了混合回归-空间自回归模型中所有参数的调整准极大似然估计，并研究了该估计的大样本性质（相合性和渐近正态性）。依托Nagar型展开，推导出了调整准极大似然估计的高至二阶的小样本纠偏估计。上述工作均在无需假定数据具体分布的背景下开展。此外，上述结果有相对简单的解析表达式，具有计算方便快捷优点；在广义线性混合效应模型的框架下，提出了一类多水平累计logistic回归模型，研究了其参数估计问题；依托谱表示，给出了带有随机效应的Meta回归模型异质性的似然比检验统计量的精确分布之等价形式，进而得出了检验所需的分位点等关键信息；在带有随机效应的广义空间自回归模型的稳健估计的研究中，对估计方程进行调整，使得估计量的影响函数有界。先给定方差分量参数，给出固定/随机效应的估计/预测。在此基础上，构造出关于方差分量参数的稳健版本的profile likelihood，进而构造出了方差分量参数的稳健估计的估计方法。依托上述成果，项目组在JASA，SJS以及CSDA等SCI源期刊上发表论文4篇。