轴向运动结构非线性振动近似解析方法研究

Axially moving structures, belonging typically to gyroscopic continuous systems, are mechanical modes of many engineering systems. Approximate analytical approaches are fundamental tools to investigations. The works on approximate analytical approaches are theoretically significant and practically important. Based on the theory of nonlinear oscillations and the theory of vibration of continua, the project will improve and develop some approximate analytical approaches to nonlinear transverse vibration of axially moving structures, and validate the approaches with the numerical simulations. Eigenfunctions will be modified to account for effects of nonlinearities on spatial distributions of transverse vibrations. Based on the modified eigenfunctions, a gyroscopic continuous will be discretized to raise working efficiency of the discrete method of multiple scales and the discrete method of harmonic balance. The modified eigenfunctions will also be integrated into the direct method of multiple scales to raise the efficiency. The alternating frequency time technique will be used to optimize the procedure of the applications of the method of harmonic balance to strongly nonlinear problems. Harmonic balance analysis will be extended to nonlinear partial differential equations without discretizations. The approximate analytical results will be validated by the numerical results via finite differences or differential quadrature. The project outcome will enrich the approximate analytical approaches for gyroscopic continuous systems, provide analytical tools for understanding transverse vibration of axially moving structures, and promote the growth of the field of dynamics and control; meanwhile the outcomes will lay the theoretical foundation of designing and optimizing engineering systems related to axially moving structures.

轴向运动结构是典型的陀螺连续系统，也是多种工程系统的力学模型，近似解析方法是基本的理论分析工具，其研究有重要的理论意义和广阔的应用前景。本项目应用非线性振动理论和连续体振动理论，改进和发展轴向运动结构横向非线性振动的近似解析方法，并进行数值验证。计入非线性对横向振动空间分布的影响导出修正的本征函数，基于修正本征函数进行离散化，提高离散多尺度法和离散谐波平衡法的精度；将修改本征函数整合入多尺度分析过程，提高直接多尺度法精度；基于时域频域变换，优化谐波平衡法应用于强非线性问题的求解过程；发展不将偏微分方程离散而直接求解的谐波平衡方法；近似解析结果将用有限差分法、微分求积法等数值解法的结果进行验证。研究成果将丰富陀螺连续体非线性振动分析方法，为全面深入理解轴向运动结构横向振动提供分析手段，推动动力学与控制学科的发展；同时为工程中轴向运动结构相关系统的设计改进和正常运行奠定理论基础和提供技术储备。

本项目综合运用了非线性振动理论和连续体振动理论，改进和发展轴向运动结构横向非线性振动的近似解析方法处理双频激励、非齐次边界等问题，并进行数值验证。代表性工作包括：1. 改进直接多尺度法处理了双频激励的轴向运动黏弹性梁，通过引入解谐参数处理双频激励，通过修改模态函数处理黏弹性伴随的非齐次边界条件，由可解性条件得到了稳定性边界，并揭示了不规则和多值边界的新现象；用微分求积法求解偏微分方程的边值问题，用数值方法得到稳定性边界，验证了前述近似解析结果。2. 发展谐波平衡法研究有强非线性边界的输液管振动，提出了模态修正和模态投影方法处理非线性非齐次边界条件，导出稳态响应的近似解并分析了稳定和分岔特性；讨论了收敛性问题，并用微分求积单元法进行了数值验证；与两种现有方法比较，所提出方法在研究强非线性边界条件时与有较大优势。3. 近似解析方法也可以应用于其它非线性陀螺连续体，例如旋转梁；用离散多尺度法研究了有预变形旋转梁的主共振和内共振；考虑预变形时，恢复力包括二次和三次非线性项；利用假设模态法可以导出系统的动力学方程，用多尺度法分析了存在3:1内共振的主共振；系统稳态响应存着单模态和双模态两种形式，导出了两种稳态响应的稳定性边界，平方项对于稳态响应及其稳定性有显著影响。除上述主要工作外，还有轴向运动梁、输液管、旋转梁的建模和分析方面的工作。研究成果将发展非线性陀螺连续系统的近似解析方法，为全面深入理解轴向运动结构横向振动提供分析手段，推动动力学与控制学科的发展；同时为工程中轴向运动结构相关系统的设计改进和正常运行奠定理论基础和提供技术储备。国际交流合作方面，两次出国参加学术会议，两次在国内参加国际会议，一次在线上参加国际会议，作大会报告或主旨报告3个。项目所取得主要成果包括在SCI收录主流国际期刊上发表论文15篇，EI收录中文期刊发表论文3篇，培养博士后5人、博士生4人和硕士生5人。