子流形几何中积分形式的移动平面法

Geometry of submanifolds is one of important subjects in differential geometry. The method of moving planes in integral forms was introduced by Prof. Wenxiong Chen and etc. in 2005, and recently it has been successfully applied to various subjects, such as partial differential equations, integral equations and Riemannian manifolds. It plays a great role in proving symmetry, monotonicity, nonexistence and a priori estimates of solutions to the above equations. This project aims to study the solutions for differential equations and integral equations from geometry of submanifolds people concerned by using the method of moving planes in integral form. The concrete contents for study are given below: (1) prescribed higher mean curvature problem and the problem on stability of higher order minimal submanifolds; (2) Liouville type theorems for integral equations and integral equations systems on a upper half-space; (3) Liouville type theorems for higher order partial differential equations and PDEs system. We try to establish the equivalence between PDEs and integral equations so that we can apply the method of moving planes in integral form to obtain some information about solutions. The main aim of this project is to make some substantial progress on the above problems, at the same time, to develop some new methods and techniques, which could enrich theories of geometry of submanifolds and partial differential equations.

子流形几何是微分几何中重要的课题之一，而积分形式的移动平面法是陈文雄教授等人在2005 年引入的,近年来已被人们成功地应用到多种形式的偏微分方程、积分方程和黎曼流形上,在证明方程解的对称性、单调性、不存在性以及先验估计方面有着非常重要的作用。本项目拟利用积分形式的移动平面法来研究子流形几何中人们所关心的微分方程和积分方程的解的性质.具体研究内容如下：(1)预定高阶平均曲率问题和高阶极小子流形的稳定性问题;(2)欧氏空间的半空间上积分方程和积分方程组的Liouville型定理;(3)半空间中高阶偏微分方程和偏微分方程组的Liouville型定理。对以上的微分方程，我们将争取建立与其等价的积分方程后实施积分形式的移动平面法，获得解的有关信息。本项目旨在对上述问题取得实质性进展的同时，发展一些新的方法和技巧，进而丰富子流形几何和偏微分方程理论。

子流形几何是微分几何中重要的课题之一，而积分形式的移动平面法是陈文雄教授等人在2005年引入的, 近年来已被人们成功地应用到多种形式的偏微分方程、积分方程和黎曼流形上,在证明方程解的对称性、单调性、不存在性以及先验估计方面有着非常重要的作用。在本项目执行期间，项目负责人和合作者利用积分形式的移动平面法研究半空间上或全空间中的多种形式的方程解的性质。按照研究内容、目标我们已经完成了本项目预定的主要目标和任务。取得的进展如下：1. 利用积分形式的移动平面法、积分形式的Pohozaev恒等式和Kelvin 变换等方法, 研究了半空间或全空间上HLS型、加权的HLS型等积分方程或微分方程解的对称性、单调性或解的Liouville型定理；研究了涉及fractional Laplacian 的微分方程或积分方程解的性质; 2.利用仿射blow-up分析的方法解决了当alpha的绝对值较大时alpha相对极值超曲面关于alpha度量完备时的Bernstein问题，利用仿射技巧解决了伪欧氏空间中Lagrangian平均曲率流的translating soliton关于诱导度量完备的Bernstein问题；3.在子流形几何中对球面中高阶极小子流形稳定性、de Sitter 空间中全脐超曲面等方面的研究。