Dirichlet-to-Neumann 算子的热流问题

Over the past 30 years, Dirichlet-to-Neumann operator plays an important role in differential geometry and physics. This denotes the Dirichlet-to-Neumann operator has not only theoretical significance, but also has extensive application value. In this project, we will study the heat flow problem of the operator, and hope to get well-posedness, blowing up, asymptotic behavior, etc. Currently, there are very little results on the heat problem for the operator. So our research on the problem can provide a solid theoretical basis for practical application.

在过去的三十年里，Dirichlet-to-Neumann 算子在微分几何和物理中发挥重要的角色.这决定了Dirichlet-to-Neumann 算子不仅具有理论价值，而且还具有广泛的应用价值. 在该项目中，我们拟研究Dirichlet-to-Neumann 算子的热流问题，并希望得到该热流的适定性原则、爆破准则、渐近行为等相关结果.目前在国际上该算子热流问题研究结果鲜为少见，因此，我们在该问题上的研究可以为实际应用提供坚实的理论基础.

我研究了 Dirichlet-to-Neumann 算子的热流问题, 特别研究了该算子临界增长的热流问题. 在初始值是低能量的条件下，我们获得了该热流问题解的存在性, 爆破性和正则性. 利用集中紧性原理, 发现了该热流长时间行为的集中现象. 我们已经将该研究论文投稿给某杂志，且正处于审稿状态. 其次, 在指数增长条件下, 利用变分法研究了Chern-Simons-Schrödinger方程解的存在性. 该研究结果发表在SCI杂志 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》. 第三, 针对带参数的Schrödinger-Poisson 方程, 我们证明了变号解的存在性和当这个参数趋于0时解的收敛性质. 这一结果发表在 SCI 杂志 《Electronic Journal of Differential Equations》. 另外, 我们还利用 Ricceri 提出的三解定理, 在 Orlicz-Sobolev 空间背景下, 获得了一类拟线性椭圆方程的三个解的存在性. 该结果发表在 SCI 杂志 《Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series》.