锥 Moser-Trudinger 不等式及其应用

In 1967, the famous Moser-Trudinger inequalities were proposed by Trudinger. Since then, the Moser-Trudinger inequalities have been studied and popularized deeply and the Moser-Trudinger inequality is widely used in partial differential equation and geometric analysis by the mathematicians. This topic intends to study the Moser-Trudinger inequalities with conic singularities. Fistly, we plan to prove the conic Moser-Trudinger inequalities on bounded regions and unbounded regions in the spaces of conic singularities,respectively. Moreover, we will study the best embedding constant and the attainability of the conic Moser-Trudinger inequalities. Secondly, we will study the properties of the conic Laplacian of high order and use the properties to obtain the conic Moser-Trudinger inequalities of high order. Finally, we are going to apply the conic Moser-Trudinger inequalities to partial differential equations (PDEs). We need to obtain the existence and multiplicity results of solutions of a class of PDEs with critical growth and subcritical growth, respectively. We will also make a complete classification of solutions of a PDE with pure exponential growth.

1967年，Trudinger提出了著名的Moser-Trudinger不等式，此后数学家们对该不等式做了深入的研究和推广，而且将Moser-Trudinger不等式广泛地用于偏微分方程和几何分析研究.本课题拟研究锥奇异Moser-Trudinger不等式.首先，在锥奇异空间上，我们计划得到有界域和无界域上的锥Moser-Trudinger不等式，进一步，我们拟研究锥Moser-Trudinger不等式的最佳嵌入常量问题和锥Moser-Trudinger不等式可达性问题.其次，我们拟研究高阶锥Laplace算子的性质，并利用该性质得到高阶锥Moser-Trudinger不等式. 最后，我们把锥Moser-Trudinger不等式用于偏微分方程研究，我们计划分别得到临界增长和次临界增长的一类方程的解的存在性和多重性.我还计划利用该不等式研究指数函数增长的非线性方程.

1967年，Trudinger提出了著名的Moser-Trudinger不等式，此后数学家们对该不等式做了深入的研究和推广，而且将Moser-Trudinger不等式广泛地用于偏微分方程和几何分析研究.本课题研究了锥奇异Moser-Trudinger不等式.首先，在锥奇异空间上，我们得到了有界域和无界域上的锥Moser-Trudinger不等式，进一步，我们研究了锥Moser-Trudinger不等式的最佳嵌入常量问题和锥Moser-Trudinger不等式可达性问题. 其次，我们把锥Moser-Trudinger不等式用于偏微分方程研究，我们分别得到了临界增长和次临界增长的一类方程的解的存在性和多重性. ..我们研究了具有周期位势的分数阶Shrodinger算子的谱问题及其相应的分数阶的Shrodinger 方程. 该方程是量子力学的基本假设之一，它在量子力学中的地位媲美于经典力学中的牛顿运动定律. 我们证明了该算子的谱是由一些区间构成的. 在周期位势的假设下，我们利用一个新的环绕定理证明了分数阶Shrodinger方程的解存在性。我们的结果对于一般的Shrodinger方程也是成立的，而且是新的..最后，我们研究了一类抛物方程的低能量、临界能量和高能量的初始值的整体解存在性、有时间爆破性、渐近性等结果.我们还出版了一部专著. 在专著里，我们讨论了五类非线性偏微分方程解的存在性、渐近性、集中现象等相关性质.