几类非典型薛定谔方程的变分方法研究

The nonlinear Schrödinger equation, which comes from the theory of Quantum Mechanics, is one of the main subjects in morden mathematics and it is one of the most important model in different sciences. The different variants of the Schrödinger equation or its modification also plays an important role in many scientific research fields. The aim of this project is to study the existence and properties of the standing wave type solutions for some nonstandard Schrödinger equations with variational structures, they are nonlinear quasilinear Schrödinger、generalized Choquard equation and variant exponent elliptic equations.

非线性薛定谔方程是现代数学研究的重要对象，它来自于量子力学，是科学研究领域的重要模型，非线性薛定谔方程的各种修正或变形在科学研究中同样有着十分重要的作用。本项目计划利用临界点理论等非线性泛函分析工具，研究拟线性薛定谔方程、非线性Choquard方程和变指数微分方程等几类具有变分结构的非典型薛定谔方程问题驻波解的存在性及其相关性质。

有许多来源于不同科学领域的微分方程具有变分结构，是非线性泛函分析研究领域的热点问题之一。项目首先利用临界点理论等非线性分析方法研究了广义Choquard方程、分数阶椭圆方程以及拟线性薛定谔方程解的存在性并分析了解的相关性质；然后研究了相关微分方程的半经典问题，并通过发展非局部微分方程的扰动方法与罚函数技巧，考察了其半经典解的存在性与集中性。项目获得了关于非局部方程的系列研究成果，促进了非线性泛函分析理论的发展，其研究成果可用于解释不同科学领域中的非线性现象。