具有潜变量的含指标项半参数回归模型的估计问题

The semiparametric regression models with index parameters are a kind of important regression model in semiparametric statistical models. One of the key properties of these models is that they can avoid the so-called “curse of dimensionality” by reducing multidimensional covariates to a univariate index predictor while still capture the underling relationship between the responding variable and the multidimensional covariates..However, in practice, it is common to encounter latent constructs that cannot be directly measured by a single observed variable. To assess the nature of a latent construct, a combination of several observed variables is needed. Hence, statistical inference for the semiparametric regression models with latent variables are burning and difficulty issues. The proposed project aims to solve above questions in theories, methodologies and their applications, which, in turn, will improve the applicability of semiparametric regression models with index and latent variables in practice. The main aims in this proposal include: (1) Combining observed variables, latent variables and semiparametric regression models with index by joint model, and estimating the single-index model, partial linear single-index model and varying-coefficient single-index model with latent variables, based on confirmatory factor analysis (CFA) model, maximum likelihood and local polynomial methods; (2) Investigating the asymptotic properties on the proposed methods and evaluating the proposed methods by comprehensive simulation studies; (3) Investigating and promoting the potential application of these models in practices.

含指标项半参数回归模型是一类重要的半参数回归模型，这类模型不仅能有效地避免“维数祸根”现象提高模型估计的效率，同时还能很好的解释响应变量和协变量之间的关系，从而更接近真实更能充分利用数据信息。然而，在处理实际问题中，经常会遇到关心的变量并不能直接由单个可观测的变量测量，而是由多个变量共同来衡量，也即存在潜变量。因此，在含指标项半参数回归分析中引入潜变量并建立相应的统计推断方法是亟待解决的重点和难点问题。本项目拟解决这一类在理论、方法和应用上都具有极高价值的难题，主要研究内容有：(1)通过联合模型的方式将可观测变量，潜变量和含指标项半参数回归模型有机结合起来，基于CFA模型、极大似然估计和局部多项式等方法研究具有潜变量的单指标模型、单指标部分线性模型和单指标变系数模型三类主要模型的估计方法；（2）研究所有统计方法的大样本性质并通过大量模拟来说明方法的合理性；（3）拓宽该类模型和数据的应用。

随着大数据时代的到来，数据不仅呈爆发式的增长，而且也变得越来越复杂。如何从海量数据中挖掘有用的信息是统计方法研究的关键问题。本项目的研究问题主要考虑遇到的数据变量是函数型数据即潜变量的形式是以函数型数据呈现的半参数回归分析问题。主要研究内容和重要结果如下：.一、具有函数型响应变量的回归模型的问题研究：基于再生核的希尔伯特空间，我们考虑函数型降秩回归建模，这样就可以用估计的多元因子的线性形式表示，同时完成了响应变量和解释变量的降维。..二、高维广义可加模型的降秩的估计方法研究：可加模型是应用广泛的非参数回归模型，它能够有效的处理当回归模型中存在多个预测变量避免拟合多元函数的困难，同时又保留了模型的非线性性。为了克服数据维数高而会损失估计效率的问题，提出了一种新的降秩的估计方法，假设所有的未知函数可以由一部分潜变量函数的集合表示，这个想法非常直接，并且可以用来解决任何需要估计大量函数的模型中。..三、关于函数型主成分回归分析的极小极大收敛率：对于函数型线性回归模型，采用主成分分析方法得到对应的估计值，并理论上证明了估计预测损失的极小极大收敛速度。这一部分的研究填补了这类问题的理论空白。..四、基于再生核希尔伯特空间的部分线性函数型回归分析：考虑当预测变量数据既存在函数型数据又有传统的变量时，采用部分线性函数型回归模型拟合，基于再生核希尔伯特空间框架下得到了相应的估计。..五、异方差非参回归模型的Sharpe Ratio函数的估计问题：研究了金融分析中关于资产资本定价模型的重要指标夏普率的估计问题。我们构造了新的有效的估计Sharpe Ratio函数的方法。同时理论上我们证明了构造的估计的大样本性质。为了验证方法的有效性，进行了大量的模拟计算，模拟显示我们的方法具有非常好的有限样本表现。..科学意义：在统计理论上做出了贡献，为实际数据分析提供了合适的方法。