强不定变分理论在非线性Dirac方程中的应用

This project will be devoted to the applications of strongly indefinite variational methods in the studies of nonlinear Dirac equations. Dirac equation is the basic equation of quantum mechanics, and it is the basic model to describe the motion of particles in the theory of relativity. The studies of Dirac equations are always concerned by a large number of scholars in the field of nonlinear analysis and partial differential equations. The existence, multiplicity and semi-classical state of solutions for nonlinear Dirac equations will be studied. The existence of periodic solutions for a class of nonlinear Dirac equations with periodic potential and periodic external force field will be discussed. We will weaken the classical Ambrosetti-Rabinowitz condition, then the existence and multiplicity of solutions for the nonlinear problems can be applied to more general cases. For semi-classical problems, we will establish the local concentration for semi-classical Dirac equations under the critical case. In addition, we will also study the semi-classical Maxwell-Dirac systems and Klein-Gordon-Dirac systems. The expected results of the project can complement and develop the existing work, which is of great significance in theoretical research and applications.

本项目主要研究强不定变分方法在非线性Dirac方程中的应用。Dirac方程是量子力学的基本方程，是相对论理论体系下描述粒子运动的基本模型。Dirac方程相关问题的研究始终是非线性分析及偏微分方程领域的研究热点。申请项目围绕非线性Dirac方程稳态解的存在性、多重性及半经典态等问题展开研究。对含有周期位势及周期非线性项的方程，我们利用强不定变分框架建立周期解的存在性。尝试减弱经典的Ambrosetti-Rabinowitz条件，使得解的存在性及多重性结果可以应用于更一般的非线性问题。对含有非周期位势及临界项的方程，我们研究半经典解关于位势的局部集中性。此外，还将研究Maxwell-Dirac系统及Klein-Gordon-Dirac系统半经典问题。项目拟研究的课题具有很好的理论意义及应用价值，预期的成果可以补充并发展现有的研究工作。

非线性分析是一个以分析方法研究非线性问题的一般理论的数学分支，这些问题来自于数学、理论物理学以及其他应用科学领域，往往具有实际应用背景。在人们探索自然科学的一般规律中，非线性模型因其更具有一般性，更接近真实自然规律而受到普遍关注。在经典量子力学中，非线性Schrodinger方程是人们刻画粒子运动规律的一般模型，与之对应，在相对论体系之下，人们关注非线性Dirac方程。此外，与Dirac方程具有密切联系的分数阶椭圆方程及系统也在近年来受到研究者的广泛关注。方程结构的不同给理论研究带来新的挑战，因此，建立这些问题的一般理论对于进一步探索相关问题是必要的。. 本项目紧密围绕Dirac方程以及分数阶椭圆方程及系统展开研究，研究内容包括Dirac方程解的存在性及多重性问题、Dirac方程与分数阶椭圆方程半经典问题、环形区域内带有导数项的椭圆方程解的存在性问题、混合局部-非局部半线性椭圆方程的正则性与存在性问题、分数阶Lane-Emden方程相关问题以及Hartee型方程解的存在性及唯一性问题等。. 项目组按照申请书及任务书的计划，紧密围绕相关领域关注的科学问题，取得了一系列研究成果，具体包括：1.建立了一般n维空间中临界、次临界非线性Dirac方程解的存在性及多重性，对于任意维数空间的Dirac问题给出了理论刻画；2.建立了具有凹凸非线性项的非周期Dirac方程解的多重性，给出了新的非周期条件克服紧性缺失的影响；3.建立了局部-非局部算子驱动的椭圆方程解的正则性，建立了此类问题的一般框架，为相关问题的进一步研究提供了理论依据；4.建立了临界非线性Dirac-Klein-Gordon系统的半经典解的多重性，将单个方程的结果推广到系统情形；5.建立了Choquard型方程的半经典解的存在性结果，给出了一个较弱的充分条件。. 项目部分成果已经在研究领域认可的学术期刊公开发表，很好的完成了预期目标。项目成果补充了相关领域的研究工作，并为相关研究提供了理论依据。