强不定和非紧的变分问题

本项目主要研究一些典型的强不定变分问题和非紧变分问题．(1)就势函数的不同情况，我们研究超线性稳态Schr?dinger方程的非平凡解和多重解的存在性．这里的势函数可以在某些地方取负值，因此相应的能量泛函没有山路几何结构，需要用与高维环绕相关的临界点理论工具．这时，为克服没有Sobolev紧嵌入的困难需要更细致的分析估计．另外，对非线性项的假设条件不足以保证(PS)序列有界，因此我们使用Cerami序列．(2)由于许多强不定变分问题只满足Cerami型的紧性条件，我们要研究Cerami型条件下的强不定Morse理论，建立相应的无穷远处的临界群的普适的、程序化的计算方法，并用于研究非线性Hamilton系统、波方程的周期解问题．(3)我们还将在一类新的条件下研究半线性椭圆共振问题的临界群计算及多重解问题，以及拟线性椭圆共振问题非平凡解的存在性．

本项目的背景是临界点理论及其对各种非线性微分方程问题的应用. 在临界点理论方面, 我们证明了非紧强不定泛函的广义鞍点定理; 以及鞍点约化下泛函在孤立临界点的临界群与鞍点约化泛函的相应临界群的关系, 它与我们于2003年和2007年发表的文章中的研究一起, 构成一个系统的理论, 使得两种鞍点约化下无穷远处及孤立临界点处的临界群的关系完全清楚了, 因此具有比较重要的理论意义. 在非线性微分方程研究方面, 我们研究一些渐近线性周期位势Schrodinger方程, 超线性和渐近线性椭圆型方程组, 全空间或有界区域中的拟线性方程, 以及非线性Schrodniger-Poisson方程组和Schrodinger-Kirchhoff方程. 特别值得一提的是我们在非线性Schrodniger-Poisson方程组方面取得的成果. 关于这类问题, 以往的研究中只考虑了Schrodinger算子为正算子的情形. 可是, 如果我们想得到原时变Schrodinger-Poisson方程组的高能量的驻波解, 则对应的稳态Schrodniger-Poisson方程组中的Schrodinger算子有负空间. 此时由于非负的非局部项的影响, 变分泛函并不满足环绕定理的值分离条件, 所以前人对此没有任何结果. 我们注意到在这种情形下, 变分泛函在原点有局部环绕的构造. 因此运用局部环绕理论, 率先在这种情形下得到非平凡解.