尖形式Fourier系数的估计及其应用

Automorphic form is one of the central topics in the area of analytic number theory. The program is to investigate the Fourier coefficients of the holomorphic cusp form and Maass form．The shifted convolution sum of Fourier coefficients and its application will be considered. The project is in connection with the Ramanujan conjecture, Sato-Tate conjecture and Lindelof conjecture.. Under the working foundations for the estimation of Fourier coeffcients and the analytic properties of L-functions,the applicant will focus on cusp form and its L-functions. In the process of the project, by the trace formula, sieve method, circle method, the average estimate of the Kloosterman sum, we are mainly concerned with the following three problems: 1) the shifted convolution sum of Fourier coefficients and its application to the zero distribution of L-functions; 2) Titchmarsh divisor problem and the analogue related to the Fourier coefficient of cusp forms; 3) the sign change and the distribution of the Fourier coefficient of cusp forms over primes. The expected results will contribute to solving the zero distribution of L-functions, subconvexity bound, sign change and the asymptotic property of the distribution of the Fourier coefficient of cusp forms over primes.

自守形式是目前解析数论的重要研究对象之一。该项目以全纯尖形式和Maass尖形式为研究对象，考虑其Fourier系数的两类卷积和估计及其应用。此课题与Ramanujan猜想、Sato-Tate猜想、Lindelof猜想有着重要而深刻的联系。. 申请人将在尖形式的Fourier系数估计以及L-函数的解析性质方面已取得成果的基础上，期望借助于迹公式、筛法、圆法、Kloosterman和的均值估计等工具来探讨如下三个方面的问题：1) 尖形式Fourier系数的卷积和，并在此基础上讨论其对应L-函数的零点分布；2) Titchmarsh除数问题及其在自守形式中的呈现；3) 尖形式Fourier系数在素变量上的变号及其分布。本项目预期的研究结果将对了解L-函数的零点分布、亚凸性估计、尖形式Fourier系数的变号及其分布函数的渐进行态产生重要影响。

自守形式是目前解析数论的重要研究对象之一。该项目以全纯尖形式和Maass尖形式为研究对象，考虑其对应的Fourier系数均值估计及其应用。此课题与Ramanujan猜想、Sato-Tate猜想、Lindelof猜想有着重要而深刻的联系。. 项目组成员借助于迹公式、筛法、圆法、指数和估计、Kloosterman和的均值估计等工具探讨了如下问题：1)研究了尖形式Fourier系数的卷积和，在此基础上讨论了其对应L-函数的零点间隔，改进了前人的结果；2)给出了 Titchmarsh除数问题在广义黎曼假设下的余项估计，改进了前人的结果。研究了其在自守形式中的呈现形式；3) 探讨了尖形式Fourier系数的变号问题，首次给出了第一个变号的数值结果；4) 在丢番图逼近、积性函数的均值估计等方面取得一系列成果。本项目的研究结果对了解L-函数的零点分布、尖形式Fourier系数分布函数的渐进行态提供了新思路。