对称L函数的二次积分均值及其应用

该项目以对称L函数为研究对象，考虑其对应的积分均值及其应用．此问题是L函数领域的核心问题，它与广义Riemann猜想、广义Lindelof 猜想、自守L函数Fourier系数的估计等有着重要而深刻的联系．此外，L函数的亚凸性问题也是该领域一个十分重要的课题，而亚凸性问题又可以转化为对应L函数的积分均值问题．因此，本课题在解析数论领域中有着非常重要的理论意义．在项目实施过程中，我们将借助于L函数的渐近函数方程、Fourier系数的均值估计、L函数的谱理论等工具来探讨对称L函数积分均值的上界估计，以及展开相关应用问题的研究．

该项目以对称平方L-函数为研究对象，考虑了其对应的二次积分均值及其应用．对于对称平方L-函数而言，有两种特殊的情况，一种是由全纯尖形式生成的，另外一种是由Maass 尖形式生成．对于第一种情况，我们借助于全纯尖形式生成的对称平方L-函数的渐近函数方程、凸性估计、Montgomery-Vaughan 积分公式等工具改进了前人关于其对应的二次积分均值的上界估计，不仅如此，我们还得到了Fourier系数的均值估计．目前有一篇已被Archiv der Math. 接受，另一篇已投稿．对于第二种情况，我们借助于Maass尖形式对应的对称平方L -函数的渐近函数方程、Perron 公式以及L-函数的解析延拓、函数方程等工具来探讨对称平方L-函数的Fourier 系数关于其Laplace 特征值的一致估计，得到了新的上界，改进了前人的结果，结果已发表在杂志Journal of number theory上．另外，应用迹公式，我们得到了该情况下的一次离散均值，结果发表在《中国科学》中文版上．因此，本项目的研究基本上达到了预期的结果．