两类非线性偏微分方程多峰解的存在性及性态研究

With the development of geometric analysis and applied science, nonlinear partial differential equations are of great importance both in theory and in applications. Our proposal is to study two types of equations. The first one focuses on the multi-bump solutions for a nonlinear elliptic equation with critical exponent, we will study the local uniqueness and non-degeneracy of eventual multi-bump solutions, based on which we will try to construct new type of peak solutions. The second problem is a quasi-linear equation derived from the plasma physics。Under suitable conditions on the potential, we hope to prove the existence of peak solutions, and understand their asymptotic behavior. For these two typical problems in nonlinear PDEs, we hope to propose some new ideas.

随着几何分析及应用科学的发展，非线性偏微分方程无论在理论上还是在实际应用中都有着非常重要的意义。本项目关注其中的两个问题。第一个问题是考虑一类带临界指标的椭圆型方程的多峰解, 研究它们的局部唯一性与非退化性，并在此基础上构造新类型的多峰解。第二个问题是来源于等离子物理学中的拟线性方程。在不同的位势函数条件下，考虑利用 Lyapunov-Schmidt 约化方法，我们希望得到多峰解，并且研究解的渐近形态，进一步研究这些解是否具有局部唯一性以及对称性。 我们希望对这两类典型的问题的研究提出新的方法和思路。

随着几何分析和应用科学的发展，例如Yamabe 问题，非线性光学，双冷凝系统中的Bose-Einstein 问题等，产生了大量的非线性椭圆型偏微分方程及方程组。上世纪90年代，Bahri-Rey 把著名的Lyapunov-Schmidt 有限维约化方法运用到椭圆偏微分方程的求解。该方法无需证明PS 序列的紧性，对于研究方程的高能量解以及集中解的优势非常明显，而且利用该方法能清晰地刻画所得解的渐近性态。.本项目关注的第一个问题是考虑一类带临界指标的非线性椭圆方程波峰解的局部唯一性和非退化性，并在此基础上构造其他形式的波峰解。第二个问题是来源于等离子物理学中的拟线性偏微分方程，研究这类方程对应的波峰解及其渐近性态。这两个问题都是非线性椭圆方程研究中的典型问题，我们希望对这类典型问题的研究提出新的方法。一方面通过结合Pohozaev恒等式以及有限维约化的方法，研究临界指标的椭圆方程的波峰解的非退化性以及新的波峰解的构造；另一方面采用非线性泛函分析的理论并利用构造解的方法，研究拟线性薛定谔方程在位势函数满足不同条件下的解的存在性，同时对得到的解的性质以及结构性态进行分析。. 本项目将上述问题纳入统一的框架之下，用一个系统的方法进行研究：在变分的框架下用有限维约化方法，针对具体的局部条件，通过黏合方法构造出方程的解，得到方程多峰解并研究当参数变化时解的渐近性态。另一方面我们用局部Pohozaev 恒等式分析波峰解的局部唯一性。当然，我们需要针对方程的具体特点在一些特殊的集合上使用有限维约化方法。我们的方法除涉及偏微分方程的经典理论如先验估计，正则化理论外，还要结合奇异摄动方法，拓扑学理论，非线性分析，渐进分析，实变函数和复分析等方法。