量子场论中的非线性偏微分方程问题

Quantum field theories play important roles in the modern theoretical physics. A series of partial differential equation problems being of richly mathematical structures and challenges arise in the frontiers of research of quantum field theories. In this project, we study three classes of nonlinear partial differential equation problems originating from quantum field theories, which consist of nonlinear elliptic equations(systems) arising in Abelian Higgs model, Born-Infeld-Higgs model of Bekenstein type, and supersymmetric Chern-Simons-Higgs model with visible and hidden gauge fields and Higgs fields. Abundantly physical phenomenon and complicated mathematical structures are collected in these equations, which are concretely elliptic equations(systems) of second-order with various exponential nonlinearities and Dirac sources terms. There are only some numerical results on the radially symmetric solutions available for these problems, lacking of rigorously mathematical analysis. In this project, we study the existence of vortex solutions, one kind of topological defects, and related properties of the three classes of problems. Completely rigorous mathematical analysis results will be established for these problems. By solving these problems, we will develop some new ideas and methods for dealing with the related nonlinear elliptic equations(systems), which will lead to the progress and development of mathematical theories.

量子场论在现代理论物理中扮演着重要角色，在其前沿领域研究中涌现出了一系列具有丰富数学结构和挑战性的非线性偏微分方程问题。本项目研究三类来源于量子场论中的非线性偏微分方程问题。包括Bekenstein型阿贝尔Higgs模型、Born-Infeld-Higgs模型以及带有可见和隐藏规范场和Higgs场的超对称Chern-Simons-Higgs模型中出现的非线性椭圆方程（组）。这些方程汇聚了丰富的物理现象和复杂的数学结构，具体表现形式为带有各种复杂指数型非线性项和Dirac测度项的二阶椭圆方程（组）。对这些问题目前只有径向对称解的部分数值分析结果，缺少严格的数学理论分析。本项目将研究这三类问题中涡旋这种拓扑缺陷解的存在性和相关性质，建立起这三类问题完整的严格数学理论分析结果。通过解决这些问题将发展出一系列处理相关非线性椭圆方程（组）的思想和方法，从而促进数学理论的发展和进步。

本项目研究了若干出现于量子场论中的非线性偏微分方程问题，主要包括Beikenstein型阿贝尔Higgs模型、Born-Infeld-Higgs模型以及超对称Chern-Simons-Higgs模型中出现的非线性椭圆方程组问题。这些模型来自于超弦理论、超对称场论、暗物质和暗能量等相关的量子场论研究的前沿，具有重要的理论价值。主要研究了这些模型涡旋拓扑缺陷解的存在性理论和相关性质，可以化为带有指数非线性项和Dirac测度项的二阶非线性椭圆方程或方程组。分别利用扰动方法和打靶法，对Beikenstein型阿贝尔Higgs模型，建立了对应BPS涡旋方程组一般非拓扑解和径向对称非拓扑解的存在性；对Beikenstein型Born-Infeld-Higgs模型，建立了BPS方程任意分布非拓扑解的存在性，径向对称非拓扑解的存在性。关于超对称Chern-Simons-Higgs模型，主要研究了以下几种情形。当耦合矩阵为一特殊2阶方阵时，相应的问题也出现在ABJM模型之中，该模型的困难之处在于只存在非拓扑解，我们利用扰动方法建立了小能量非拓扑解的存在性，对于一般情形，通过研究对应初值问题，利用动力系统分析、爆破分析的方法得到非拓扑解的存在性。当耦合矩阵为一般的2阶非退化矩阵，包括非对角线元素异号的情形，通过扰动方法和山路引理，建立了双周期区域上多解的存在性。当耦合矩阵为一2阶反对角矩阵时，建立了双周期区域上bubbling 解的存在性，给出了Bubbling 解的存在的充分条件。证明了当耦合参数趋于0时，对应问题的非线性项收敛于某个Dirac测度。在耦合矩阵为规范群为SU(N)(N=4,5,6)对应的Cartan矩阵情形，研究了在双周期区域上多解的存在性，给出了刻画多解存在性的充分条件。通过利用精细的估计和山路引理，证明了该系统至少存在两个不同的解，带有相同的能量、磁通量和电荷数。解决这些问题对相关的物理理论研究提供了严格的理论支持，所发展的思想方法为继续深入研究量子场论中的其它相关非线性偏微分方程问题提供了必要的积累。