球面上的Moebius等参超曲面及其相关问题

The Moebius geometry is the subgeometry of the Lie sphere geometry, which studies the invariants of the submanifolds in unit sphere under the Moebius transformation group, among which the classifications of the Moebius isoparametric attracts much attention.The Moebius isoparametric hypersurfaces with two or three distinct Moebius principal curvatures have been classified. However, the Moebius isoparametric hypersurfaces with four distict Moebius principal curvatures have not been classfied so far. And our project is devoted to this unresolved problem.

Moebius几何是李球几何的子几何，研究单位球面上不含脐点的子流形在Moebius变换群下的不变性和不变量，其中Moebius等参超曲面的研究是热点问题。具有两个和三个互异Moebius主曲率的Moebius等参超曲面已完全分类，至今，具有四个互异Moebius主曲率的Moebius等参超曲面还没有完全分类。本项目研究单位球面上具有四个互异Moebius主曲率的Moebius等参超曲面的分类。

本项目的研究内容是Moebius微分几何，研究在Moebius变换群下的不变性和不变量。由于单位球面，欧氏空间和双曲空间之间有共形嵌入，因而可将它们的Moebius几何统一起来。我们按照预定的计划，研究Moebius等参超曲面，Blaschke等参超曲面和仿Blaschke等参超曲面的分类及其相关问题，具体包括以下几个方面：.（1）具有三个互异仿Blaschke特征值的仿Blaschke超曲面的分类。.按照研究计划，我们在具有两个互异的仿Blaschke特征值的仿Blaschke等参超曲面分类基础上，对具有3个互异仿Blaschke特征值的仿Blaschke等参超曲面的进行了分类。.（2）具有四个互异Moebius主曲率的Moebius等参超曲面的分类。.球面上紧致Moebius等参超曲面互异的Moebius主曲率的个数只可能是2,3,4,6，而具有两个互异Moebius主曲率的Moebius等参超曲面已被王长平、李海中等完全分类，具有三个互异Moebius主曲率的Moebius等参超曲面已被胡泽军、翟书杰完全分类。按照研究计划，我们对具有四个主曲率的（1,1,1，m）型的等参超曲面进行了分类。.（3）具有四个互异Blaschke特征值的Blaschke等参超曲面的分类。.王长平等对Moebius迷向子流形的分类给出具有一个互异Blaschke特征值的Blaschke等参超曲面的分类。李兴校等对具有两个和三个互异Blaschke特征值的Blaschke等参超曲面给出了完全分类。按照研究计划，我们对具有四个互异Blaschke特征值的Blaschke等参超曲面的分类进行了探讨。. （4）具有三个Laguerre主曲率的Laguerre等参超曲面的分类。. Moebius几何和Laguerre几何都是李球几何的子几何，两者之间关系密切。宋宇萍研究了具有两个主曲率的Laguerre等参超曲面的分类，我们进一步研究了具有三个主曲率的Laguerre等参超曲面的分类。.（5）Laguerre形式平行的超曲面的分类。. Laguerre形式是Laguerre不变量，我们对具有平行Laguerre形式的超曲面进行了分类。