半群与半群代数的若干研究

In this project, we introduce a class of idempotents named quasi-medial idempotent. Then we devote ourself to study the properties and constructions of a class of semigroup with a quasi-medial idempotent , meanwhile, we should consider congruences on such a class of semgroup. Furthermore, the relationship between quasi-medial idempotents and trandversals is discussed and then by means of the above studies we shall figure out some problems on transversals, such as the relations between quasi-ideal quasi-adequate transversals and so on. On the other hand, the study on semigroup algebra wihch based on the semigroup constructions theory and algebras is optimistic. Fortunatly, the study of this project will provide more result for semigroup costruction theory and groundwork for semigroup algebra.

项目从中间幂等元出发，构建一类拟中间幂等元，探讨具有这类拟中间幂等元半群的性质与结构以及具有拟幂等元半群上的同余。进一步，利用所得结论研究半群拟中间幂等元与半群的断面之间的关系，并利用拟中间幂等元与断面之间的关系解决半群断面研究中的一些问题，譬如拟理想拟恰当断面之间的关系等。另外，半群代数是基于半群结构理论和代数学的极具前景的研究内容，而本项目将为半群结构理论提供丰富的成果，为半群代数的研究打下坚实的基础。

本项目是从半群内部的特殊幂等元和特殊子群出发探讨半群的结构和性质。通过将特殊幂等元和特殊子群相结合，探索研究正则半群和广义正则半群的新方法。利用拟中间幂等元刻画了富足半群的性质，建立了拟中间幂等元与拟理想拟恰当断面之间的联系，证明了拟中间幂等元的乘积仍是拟中间幂等元；研究了具有中间幂等元的正则半群上的同余表示；分别给出了拟理想纯正断面和拟理想拟恰当断面的等价判定，刻画了拟理想拟恰当断面的乘积，确定了拟理想拟恰当其他各类断面之间的关系；研究了一类特殊恰当半群代数。本项目的研究大大地丰富了半群代数理论的研究内容。