随机代数幺半群、广义反射幺半群和Renner幺半群

本项目有三项内容：(一) 以简约代数群、正则代数幺半群、随机矩阵和有限马尔科夫链等理论为基础与工具，开启研究并揭示全新的一类代数幺半群- - 随机仿射代数幺半群的简约性、可解性、正则性等代数,组合与拓扑结构，尤其是双随机复代数幺半群的李型结构、表示与在相关代数群作用下的轨道结构和不变量问题。(二) 构造广义反射幺半群（Renner 幺半群与反射幺半群的推广），计算其阶，确定格林关系，确定广义反射幺半群的共轭类、广义共轭类、生成元与定义关系式，确定广义反射幺半群的半群代数的q-变形基。(三) 构造Renner么半群的Hecke代数，完善计算有限简约代数幺半群阶的公式，找出有限简约代数幺半群的Weil zeta函数以及光滑简约代数幺半群的Betti数。

（拟）随机代数幺半群是一类我们新发现的仿射代数幺半群。我们发现它们为研究一般仿射代数幺半群提供了一个新的视角。广义反射幺半群可描述为Weyl群在某个由向量构成的半格上的限制。Renner幺半群之于简约（代数）幺半群乃Weyl群之于简约代数群。Renner幺半群和反射幺半群都是广义反射幺半群。但是很多广义反射幺半群既不是Renner幺半群，也不是反射幺半群。这就为数学工作者提供了一大类新的研究对象。原计划有三个研究目标：(1)随机代数幺半群的结构；(2)广义反射幺半群；(3)Renner幺半群的表示及相关问题。按原计划及据需要的调整，我们：于第一个目标(1) (i)获得随机代数幺半群的一般结构及其与仿射代数幺半群的对应关联，并证明了仿射生成的随机代数幺半群的抛物子幺半群是仿射生成的； （ii）解决了与（1）密切关联的代数幺半群的各种代数子半群生成的可能性与唯一性问题； （iii）给出两个分类变量的比例型关联依存度随机矩阵。对第二个目标：(i) 确定Renner幺半群的共轭类及与Renner幺半群的表示的关系；(ii)对典型幺半群，得到了辛幺半群的Renner幺半群的长度公式及长度生成函数、Bruhat分解、给出了辛幺半群的元素的正则表达、有限辛幺半群的阶的计算公式；(iii) 确定了偶特殊正交幺半群在其单位群作用下的轨道以及偶正交幺半群在单位群作用下的轨道，（iv） 给出了有限正交幺半群的阶的计算公式；对第三个目标：（i) 揭示了权多面体在Weyl群作用下的轨道的性质及轨道与抛物子群的关系。(ii) 由Kac-Moody群构造无限维幺半群；(iii) 确定了 的Renner幺半群的共轭类以及每个类的基数；（iv）给出了量子环面上的初等酉李代数的有限维不可约表示；（v）揭示了对合代数上的酉李代数的对称不变双线性型和导子代数的结构。