随机偏时滞微分方程的研究及在生物数学中的应用

本课题主要以随机偏时滞微分方程解的稳定性理论研究及运用该理论讨论具空间扩散和年龄结构的随机变时滞种群模型为研究对象。首先，建立时滞积分不等式，利用此方法，克服时滞，脉冲干扰和中立项等因素出现所带来的困难，开展随机偏时滞微分方程Mild解的指数稳定性、几乎必然指数稳定性和渐近稳定性等方面的研究，推广和改进已有的结果。同时，运用此方法，还能讨论随机偏时滞微分方程强解(弱解)的指数稳定性，几乎必然指数稳定性和渐近稳定性。因此，与已有的Gronwall不等式方法，比较原理，不动点定理和Lyapunov函数等方法相比，该方法具有较强的普适性。其次，讨论具空间扩散和年龄结构的随机变时滞种群模型，运用我们得到的理论给出判定该类模型三种稳定性的充分条件，进而，分别讨论时滞、脉冲和随机等因素对该模型的影响。最后，进行数值仿真，用所得到的数据验证所得到的理论正确性。

本项目主要是以随机偏时滞微分方程的稳定性理论研究及建立一类具空间扩散和年龄结构的随机种群时滞模型为研究对象，研究方法是建立时滞积分不等式。该方法能有效地克服时滞和随机干扰等因素带来的困难。首先，使用此方法研究随机偏时滞微分方程的Mild解，弱解和强解的指数稳定性，几乎必然指数稳定性和渐近稳定性，推广和改进已有相关工作；其次，运用此方法讨论二维随机时滞Navier-Stokes方程的弱解的指数稳定性和几乎必然指数稳定性，也能推广和改进已有相关工作；最后，运用所得到的定性理论建立一类具空间扩散和年龄结构的随机种群时滞模型，再利用此方法考虑该类模型的稳定性和吸引性。值得一提的是，使用此方法，能去掉变时滞的可微且其导数值小于1这一限制性条件。在此项目的支持下，此课题已取得一些成果：发表的三篇论文均被SCI收录。