含有非自治扰动的波方程动力系统问题研究

This project is devoted to investigating long-time behavior of a wave equation with nonautonomous perturbations. We mainly study the following problems: (1) Considering the existence of solutions by using Galerkin method; (2) Considering the existence of pullback attractors and its regularity; (3) Applying the index theory, we consider the fractal dimension of pullback attractors; (4) Considering the continuity of pullback attractors. These problems are important ones in very active research directions in the world in recent ten years, and concerned by many colleagues. Therefore, deeply studying on these problems will impact on the research of theories and applications of nonautonomous evolution equations and infinite-dimensional dynamical systems.

本项目旨在研究一类含有非自治扰动的波方程的解的长时间行为。拟考虑如下问题：（1）利用Galerkin逼近方法研究方程解的存在性；（2）研究拉回吸引子的存在性和正则性；（3）利用指标理论研究拉回吸引子的分形维数估计；（4）研究拉回吸引子的连续性。这些问题都是近十几年来国际上极为活跃的研究方向上的重要问题，极受同行关注。因此，对这些问题的深入研究，必将在非自治发展方程及无穷维动力系统的理论和应用研究上产生重要影响。

近年来，对于从数学物理、大气科学、材料科学等学科中涌现出的大量的微分方程的研究越来越受到数学工作者的关注，对于这些方程的深入研究有助于我们理解现实世界的种种现象，这当中的一个重要分支就是对发展方程的大时间行为及其稳定性的研究，其中一个重要的研究课题便是对于无穷维动力系统的吸引子的研究，包括吸引子的存在性、结构分析（例如维数估计）、正则性分析、带扰动系统的吸引子的稳定性等等目前受到广泛关注的重要研究问题。.该项目主要包括了两类研究问题:.1.带有扰动的无穷维动力系统的长时间行为及其稳定性分析。.2.拉回吸引子的正则性的研究。.该项目主要研究了：.1.研究了带有扰动的指数耗散动力系统的稳定性，首次从理论角度给出了一种用于验证该系统稳定性的抽象结果，进一步应用该结果研究了一类带扰动的Kirchhoff方程的稳定性。（发表SCI论文一篇）.2.研究了一类带扰动的非自治非经典扩散方程的一致吸引子的上半连续性。（发表SCI论文一篇）.3.研究了一类带扰动的非自治非经典扩散方程的拉回吸引子的上半连续性。（发表EI论文一篇）.4.研究了一类非自治非经典扩散方程的拉回吸引子的正则性分析，并且我们首次给出了一种用于验证拉回吸引子正则性的抽象方法。（发表SCI论文一篇）