非自治随机Schrödinger方程的适定性及其相关问题研究

This project is a intersect project for stochastic analysis and partial differential equation, mainly based on the theory of stochastic differential equation and nonlinear Schrödinger equation, to study some problems for non-autonomous stochastic nonlinear Schrödinger equation with time-varying coefficients and different stochastic perturbations. The project will mainly discuss several problems as following: study a kind of non-autonomous stochastic Schrödinger equation with stochastic quadratic potential, establish the new theory and method of local and global well-posedness and blow-up for the solution, overcoming the difficulty arising from time-varying coefficient; consider a stochastic nonlinear Schrödinger equation with stochastic quadratic potential and time-oscillating coefficient, establish the well-posedness for the solution, and then get the limit behavior of small parameter, which make up the shortcoming of research on this field; discuss a kind of non-autonomous coupled stochastic Schrödinger equation with random dispersion and time-oscillating coefficient, establish the existence and uniqueness of the solution, and then obtain the asymptotic convergence of the solution, improving the related conclusion. The implement of this research will help us to understand the influence of time-dependent coefficient and stochastic noise on the solution of deterministic nonlinear Schrödinger equation better, and it will be doubtless to widen and develop the theory of stochastic differential equation and its application.

本项目是随机分析和偏微分方程的交叉课题，主要是基于随机微分方程和非线性Schrödinger方程理论，定性研究含有时变系数和不同随机扰动的非自治随机非线性Schrödinger方程若干问题。 主要包括：研究含有随机二次势扰动和时变系数的非自治随机Schrödinger方程， 建立解的局部和整体适定性以及爆破性质的新理论和方法，克服时变系数带来的困难；研究含有随机二次势扰动和时间振荡系数的随机非线性Schrödinger方程，建立解的适定性并得到解的小参数极限性质，弥补这方面研究的不足；研究含有随机色散系数扰动和时间振荡系数的非自治耦合随机Schrödinger方程，得到解的存在唯一性，继而建立解的渐近收敛性，改进相关的研究。本项目研究内容的实现有助于了解时变系数和随机噪声项对确定非线性Schrödinger方程解的影响，必将丰富随机微分方程的理论和应用。

本项目主要是基于随机微分方程、非线性Schrödinger方程和变分法的相关理论，定性研究了几类含变系数的确定和随机非自治Schrödinger方程及相关的椭圆方程和耦合系统若干问题。包括：(1)研究了一类带时间周期色散和时变损耗(增益)及随机色散扰动的非自治随机Schrödinger方程，建立了新的Strichartz估计，并成功用于证明方程解的局部适定性和局部渐近收敛性，改进了已有的研究结果；(2) 研究了含部分调和位势和有界变系数的非自治Schrödinger方程，建立了全局解和爆破解的存在性，并得到了爆破解的质量集中性质和极小质量爆破解的动力学性质，推广和改进了已有的研究；(3)建立了含无界变系数和部分调和势的L2临界和超临界非自治Schrödinger方程全局解和爆破解的存在性，并在L2临界情形得到了全局解存在的最优临界值，建立了径向对称爆破解的质量集中性质和极小质量爆破解的爆破速率和极限轮廓，推广和改进了前人的一些研究;（4）建立了含部分调和势限制的L2临界耦合非线性Schrödinger方程组全局时间解和爆破解的存在性，并得到了它们的最优临界值，同时得到了耦合方程组爆破解的L2集中性质，推广和完善了已有的研究；(5) 证明了一类带消失非局部项的分数阶p-Laplacian Kirchhoff 方程正解的存在性和多重性；(6) 研究了带深井位势的分数阶Kirchhoff-Schrödinger-Poisson 耦合系统，证明了正解的存在性，得到了正解的衰减速率以及正解的渐近性质。这些研究将有助于拓展和丰富随机微分方程、非线性Schrödinger方程及椭圆方程的相关理论及其应用。