多尺度时间发展问题的渐近分析与特征展开数值方法

Because of the rapid development of the science and technology, we need to deal with more and more multiscale problems. There are still many difficulties and challenges in the study of the high efficiency and accuracy methods for these multiscale problems. The aim of this project is going to model, analyze and simulate the multi-scale time-dependent problems. We will mainly consider the transport equation of energy and particles in the heterogeneous medium with some uncertainties, including the propagation of high frequency dispersive waves, the reaction-convection-diffusion problem, the complex transport of particles, and so on. We expect to set up a large scale macroscopic model for the above multi-scale time-dependent problems, then analyze and solve the derived multiscale equation by combining the applied mathematical tools and methods such as asymptotic analysis. The eigen-expansion of the reduced problem are studied in detail and used for the approximate solution of the original problem, in order to get the efficient and high precision multi-scale methods.

科学技术的快速发展使得人们要面临越来越多的多尺度问题，如何高效、高精度地求解此类问题依然存在不少困难和挑战。本项目拟对多尺度时间发展问题进行建模、分析和模拟，主要考虑（在一些不确定性扰动下）描述非均匀介质中能量和物质输运过程的高频色散波传播问题、（反应-对流）扩散问题、粒子输运问题等。我们将结合渐近分析等应用数学工具和方法对于以上多尺度时间发展问题进行分析、求解，通过对约化问题的特征展开进行详细研究并用于原问题的近似求解，以期得到高效、高精度的多尺度求解方法。

科学技术的快速发展使得人们要面临越来越多的多尺度科学与工程问题，如何高效、高精度地求解此类问题依然存在不少困难和挑战。本项目按照既定计划并结合近几年的相关领域国际发展动态，主要研究了多尺度扩散问题和多尺度双曲问题的求解，包括：奇异摄动电报方程（包括时间分数阶问题）的数值求解，得到了无界区域问题的人工边界条件和高效数值求解方法；复杂区域上反应扩散问题及四阶奇异摄动问题的数值求解，得到了高效耦合方法和具有一致收敛性的算法；金融数学中Heston模型的渐近分析和人工边界条件及高效迭代求解方法；带随机势的线性薛定谔方程随机配置法的谱收敛性分析；计算地球物理领域的地震层析成像方面的随机采样方法和相应的收敛性分析；材料科学领域中薄膜固态去湿问题的高效数值凸分裂方法。并把研究成果应用于图像处理以及信息论中的一些多尺度优化问题等，取得了很好的成果。