路余代数上的双代数结构和Artin代数的有限维数

In Hopf algebra, the question of extending the Hopf quiver theory to the setting of generalized Hopf structures has always been a hot topic. When the set of vertices of a quiver has a group structure, the Hopf algebra structure on the path coalgebra, or equivalently the Hopf bimodule structures over groups is clear. As generalization, the set of graded bialgebra structure on the path coalgebra is in one-to -one correspondence with the set of monoids and bialgebra bimodules on monoids. To the best of our knowledge, not much is known about the bialgebra bimodules on monoids. In this project, we intend to generalize the classification of Hopf bimodules over groups to that of bialgebra bimodules over monoids.. In the representation theory of algebras, there is a famous finitistic dimension conjecture which says that the finitistic dimension of an arbitrary artin algebra is finite. The finitistic dimension conjecture is equivalent to the following statement: if B is a subalgebra of an Artin algebra A such that radB is a left ideal in A, then B has finite finitistic dimension whenever A has finite finitistic dimension. So a further study on the module categories and homological properties of subalgebrass is useful to investigate and understand the finitistic dimension conjecture.

在Hopf代数理论中，箭图Hopf代数的推广问题一直是一个热点问题。当一个箭图的顶点集有群结构时，对应的路余代数上的Hopf代数结构，或等价的，群上的Hopf双模结构已经研究清楚。作为推广，路余代数上的双代数结构与幺半群及幺半群上的双代数双模有一个一一对应。但关于幺半群上的双代数双模，相关结论却知之甚少。在本项目中，我们利用代数表示论的手段和某些特殊幺半群的结构，将群上的Hopf双模推广到幺半群上的双代数双模中去，从而对路余代数上的双代数结构进行分类。. 在代数表示论中，有一个著名的猜想，即有限维数猜想。有限维数猜想有一个等价形式：设B为Artin代数A的子代数，radB为A的左理想，若A的有限维数有限，则B 的有限维数有限。因此，进一步研究Artin代数的子代数的模范畴及其同调性质，有利于探索和理解有限维数猜想。

投射模是同调代数的一个主要研究对象。作为投射模的推广，Auslander,Bridger 和Enochs等介绍了Gorenstein投射模的概念。由于Gorenstein投射模在表示论和代数几何中有广泛的应用，所以受到了越来越多的关注。有限维数和整体维数是重要的同调不变量，其中前者还与著名的有限维数猜想相关。有限维数猜想是说任意Artin代数的有限维数是有限的，此猜想与很多其他的同调猜想密切相关，吸引了很多代数学者们的关注。有不少文献讨论过投射模的自同态代数的有限维数和整体维数，Gorenstein投射模是投射模的推广，但对于Gorenstein投射模的自同态代数，相关结论却知之甚少。. 在本项目中，我们首先研究了Artin代数A上的Gorenstein投射模的自同态代数的模范畴，证明了若A是2-syzygy有限的，则A上Gorenstein投射模的自同态代数也是2-syzygy有限的，从而有限维数是有限的。其次，在代数A为CM-finite的情况下，我们利用Gorenstein投射模M的一些同调性质，来刻画M的自同态代数的有限维数和整体维数。然后，我们研究一对代数的有限维数之间的关系：设H为域k上的有限维弱Hopf代数，A/B为右忠实平坦的弱Hopf-galois扩张。我们证明了若B的有限维数是有限的，则它不会超过A的有限维数。并且，假设H是半单的。若有限维数猜想成立，则A和B的有限维数是相等的。最后，为了推广Hopf箭图理论，我们介绍了一种新的正则半群，并且给出了它的次直积和织积结构。