整体维数为2的代数上的极大1-正交子范畴

高维Auslander-Reiten理论依赖于极大1-正交子范畴的存在性；而Cluster倾斜模就是具有加法生成子的极大1-正交子范畴的加法生成子。 本项目将系统研究具有极大1-正交子范畴的整体维数为2的代数上的有限生成模的同调维数之间的关系以及代数的表示型及其结构。以单模的同调维数为工具，建立具有平凡的极大1-正交子范畴的整体维数为2的代数与有限表示型倾斜代数的联系，并由此解决倾斜代数上的极大1-正交子范畴的存在性。同时为了彻底解决Auslander代数上的极大1-正交子范畴的存在性，我们将在整体维数为2的Auslander代数上研究Iyama关于极大1-正交子范畴必有加法生成子的猜想。本项目的研究将为高维Auslander-Reiten理论以及Cluster倾斜理论提供存在性的理论支持。

2004年以来，cluster倾斜理论成为代数表示论的一个热点研究问题。许多代数学家，如Keller, Reiten, Ringel, Iyama等都在这一方面做出了很好的研究。注意到Cluster 倾斜模就是一个有加法生成子的极大1-正交子范畴。由此可知，cluster倾斜理论严重依赖于极大1-正交子范畴理论。因此研究极大1-正交子范畴的存在性对于cluster 倾斜理论就有重要的理论意义。本项目主要研究了整体维数为2的代数上的极大1-正交子范畴的存在性。系统解决了一类重要的代数——整体维数为2的Auslander's 1-Gorenstein 代数上的极大正交子范畴的存在性。以单模和不可分解模的投射维数和内射维数的联系为着力点证明了具有平凡的极大1-正交子范畴的整体维数为2的Auslander's 1-Gorenstein 代数是倾斜代数。利用特殊的Biserial代数的知识，证明了这类代数是有限表示型的但不一定是Nakayama代数。. 注意到Adachi, Iyama 和Reiten 于2012年提出了\tau-倾斜理论，而这套理论与Cluster倾斜理论密切相连。而\tau-倾斜理论的一个重要研究对象和研究.工具是\tau-刚性模。项目组研究了根平方为零的代数上的不可分解\tau-刚性模，这些结果已经被Iyama及其合作者广泛引用。此外，项目组还在Auslander 型条件.相对同调代数方面做了一些工作。