代数结构的本性维数的计算

The essential dimension of an algebraic object is the minimum number of its algebraically independent parameters. Essential dimension is related to birational algebraic geometry, intersection of algebraic cycles, Chern classes, Galois cohomology, algebraic stacks and so on. There are many open problems in the calculation of essential dimensions. Known results are partial, which only gives upper or lower bounds of the essential dimension. The project intends to obtain smaller upper-bounds or larger lower bounds of essential dimensions of algebraic groups, even exact values.

一个代数结构的本性维数是它的代数无关的参数的最小个数。本性维数与双有理代数几何、代数圈的向交性、陈类、Galois上同调、代数stack等相关。关于本性维数的计算有很多公开问题。现有结果往往只给出本性维数的上下界而不是精确值。本项目的目的是得到代数群的本性维数的更小的上界，或更大的下界，甚至精确值。

本项目旨在通过本性维数等不变量研究代数结构，共发表论文两篇。第一篇论文由项目负责人独立完成，研究了整体域上的任意一对二次型的相似性分类。证明了如果特征为2的整体域上的一对非退化二次型如果在域的局部化上处处相似，那么这一对二次型是相似的，即满足局部整体原理。推广了T.Ono特征非2情况的结果。第二篇论文项目负责人是第二作者，与第一作者胡勇合作研究Rost不变量的核。项目负责人的贡献主要在于证明了如果双四元数代数的Rost不变量为零，那么是由于与一个约化范数乘以一个平方数作了杯积。与合作者一道，部分解决了Suslin的一个猜想。研究对象确实是代数结构，如二次型、离散赋值域等。研究二次型主要使用的不变量有Arf不变量、Clifford不变量等；研究离散赋值域主要使用的不变量有Rost不变量等。虽然没有直接使用本性维数，但研究的算术域对于基域的超越维数起了关键作用，与本性维数有直接关系。