流体力学方程中的一些自由边值问题

It is one of important and difficult topics in applied sciences and the theory of partial differential equations to study the asymptotic behavior of solutions to free boundary problems of Navier-Stokes equations as some physical parameters such as the viscosity and/or heat-conductivity tend to zero. We propose to study the following problems in this project: i) the boundary layer analysis and convergence rate for solutions to the free boundary problem for the incompressible Navier-Stokes equations as the viscosity tends to zero under the Taylor sign condition; ii) the uniform regularity with respect to the viscosity and heat conductivity, boundary layer analysis and convergence rate of solutions to the free boundary problem of compressible Navier-Stokes equations in two and three dimensions away from vacuum, as the viscosity and heat conductivity tend to zero, under the Taylor sign condition; iii) the uniform regularity with respect to the viscosity, boundary layer analysis and convergence rate of solutions to the physical vacuum free boundary problem of isentropic Navier-Stokes equations, as the viscosity tends to zero.

研究流体Navier-Stokes方程的自由边值问题在一些物理参数如粘性或热传导趋于零时解的渐近行为是应用科学及偏微分方程理论中重要而困难的课题之一。在本项目中，我们将研究如下问题： i）不可压Navier-Stokes 方程自由边值问题的解的在Taylor符号条件下当粘性系数趋于零时解的边界层行为分析及收敛率； ii）二维及三维可压缩Navier-Stokes 方程自由边值问题的解在Taylor符号条件下关于粘性及热传导系数的一致正则性以及在粘性及热传导系数趋于零时解的边界层行为分析及收敛率（此问题不含真空）；iii）等熵可压缩Navier-Stokes 方程物理真空自由边值问题的解关于粘性系数的一致正则性以及当粘性系数趋于零时解的边界层行为分析及收敛率。

流体方程自由边界问题是非线性偏微分方程理论及实际应用中重要且困难的问题。 在本项目中，关于流体方程自由边界问题的研究取得了以下结果：1）对带阻尼可压缩Euler方程具有物理奇性的真空自由边界问题，a）证明了3维球对称光滑解的整体存在性及Barenblatt自相似解的非线性渐近稳定性；b）证明了一般不假设对称性的3维运动的光滑解的几乎整体存在性，并给出了关于Barenblatt自相似解扰动随时间的衰减估计，克服了气体-真空分界面随时间仅为次线性增长以及气体-真空分界面几何随时间的演变以及切向-法向相互作用带来的困难。这两项工作均发表于国际重要著名期刊Arch. Rational Mech. Anal.。2）对低马赫热传导无粘流体方程的自由边界问题，给出了解的Sobolev范数的先验估计，同时也对一些自由边界的几何量如第二基本形式和法指数映射的单射半径做出了估计。极大地发展了Christodoulou和Lindblad对不可压无粘流体自由边值问题的研究中所采用的几何方法。克服了由温度大的变化、热传导、流体的可压缩性及自由边界的演化等构成的强耦合，方程无对称性，以及导数损失等困难。这是研究热传导对无粘流体自由边界影响的第一个工作。 .本项目也对流体方程的解在某些物理参数趋于零时的奇异极限行为进行了研究。对于Navier-Stokes-Poisson方程组在上半空间满足物理边界条件的拟中性与无粘性的联合极限问题，证明了线性模型两种不同类型边界层的稳定性。 对于以磁流体力学方程的零马赫极限及零阿尔文极限为实际物理背景的带有两个小参数因此具有三个时间尺度的一类发展型偏微分方程组的证明了解奇异极限行为。.