守恒律方程组解的定性行为

In this project, we will study the following topics: 1）the convergence rate to the superposition of viscous shocks, viscous contact waves and diffusion waves or to the superposition of rarefaction waves and viscous contact waves and the point-wise behavior of solutions to viscous conservation laws; 2) large time existence and qualitative behavior of solutions to the physical vacuum free boundary problems of compressible Euler-Poisson equations and Navier-Stokes-Poisson equations. The study of qualitative behavior of solutions to viscous conservation laws is important in the theory of nonlinear partial differential equations. There have only few results on the first topic in this project. New ideas and techniques are needed. The problem of physical vacuum free boundary problem of systems for fluid dynamics is in the frontier of the study of partial differential equations. The available results on this topic are mainly on the short time well-posedness. We will study the long time well-posedness theory in this project.

在本项目中，我们将研究如下课题：1)粘性守恒律方程组的解当时间趋于无穷大时收敛到由激波、粘性接触波以及扩散波组成的复合波的收敛率问题及逐点行为，以及收敛到由疏散波和粘性接触波组成的复合波的收敛率问题及逐点行为；2）可压Euler-Poisson及Navier-Stokes-Poisson方程物理真空自由界面问题解的大时间存在性及定性行为。粘性守恒律方程组解的定性行为问题是非线性偏微分方程理论中的重要课题。对于本项目中第一个课题已有结果很少。研究这一问题需要引进和发展新的思想和方法。关于流体力学方程组的物理真空自由边值问题是目前偏微分方程研究中的前沿问题。目前已有结果多关注于短时间适定性理论，在本项目中，我们将研究长时间适定性问题。

流体自由界面问题是偏微分方程理论及实际应用中重要且困难的问题。本项目对其中的前沿问题-可压缩流体物理真空自由界面问题进行了深入地研究，并得到了一系列关于解的适定性的结果。关于无粘流体，不仅对现有的古典解的唯一性结果进行了完善，还把古典解的存在性从局部时间延拓到了整体时间，并对其大时间渐近行为进行了刻画。关于粘性流体，同样证明了强解的整体存在性并分析了其大时间渐近行为。此外，本项目还对带松弛守恒律方程组的解当时间趋于无穷大或松弛参数趋于零时收敛到基本波的行为进行了研究，并得到了相应的结果。