对时空的渐近结构和渐近对称性的一些研究

In the past years, people have found that our present universe is in a state of accelerated expansion from many independent astronomical observations. Most of the observations favor the cold dark matter model with a nonzero cosmological constant. Moreover, the observations show that the amplitude of the cosmological constant is about 10^(-52)m^(-2) in geometric units. On cosmological scale, the structure and symmetry of spacetime , the analysis and understanding of the experiments on gravitational waves and electromagnetic waves will be affected by the nonzero cosmological constant. On the other hand, due to the complexity of Eisntein’s equations, it is too difficult to investigate the structure of spacetime directly. So H.Bondi and other researchers began to discuss the asymptotic structure and asymptotic symmetries of asymptotically flat space in 1960s. This project plans to investigate the asymptotic structure and asymptotic symmetries of spacetime with nonzero cosmological constant but no material field by the method of asymptotic expansion firstly, the understanding on the meanings of Bondi type boundary condition will also be deepened in this process. Finally, the previous investigations will be generalized to the case with electromagnetic field, and the effect of cosmological constant on the properties of gravitational and electromagnetic field will also be discussed.

过去数年的各方面独立天文观测都表明当今的宇宙处于加速膨胀中。大量的观测结果都可以用带宇宙学常数的冷暗物质模型来解释。不仅如此，天文观测还表明，在几何单位制下宇宙学常数大小约为10^(-52)m^(-2)。在宇宙学尺度上，非零的宇宙学常数会影响时空的几何结构和对称性及对诸如引力波和电磁波的探测实验的分析和理解。但是，鉴于Einstein方程本身的复杂性，直接研究一般情形的时空结构十分困难，因此H.Bondi等人首先研究了渐近平坦时空的渐近结构和渐近对称性。本项目计划首先利用渐近展开的方法研究非零宇宙学常数且无物质场情况下时空的渐近结构，渐近对称群及其数学结构。在此过程中，还将进一步加深对Bondi所给的边界条件的理解。最后我们计划将结果推广到有电磁场的情况，并具体讨论宇宙学常数对引力场和电磁场性质的影响。

天文观测表明当今宇宙处于加速膨胀过程中，宇观尺度上时空是渐近de Sitter而非渐近平坦的,因此有必要研究渐近de Sitter时空的性质。本项目利用Bondi-Sachs框架研究了宇宙学常数非零情况下时空的渐近结构，具体分析了宇宙学常数对引力场和电磁场的影响，讨论了结果的几何意义与物理意义。主要研究结果为：（1）研究了带宇宙学常数的真空Einstein方程在不同渐近条件下解的渐近行为，发现渐近边界条件对引力场有很大影响。通过计算类光无穷远这一三维Riemann流形的Bach张量，发现引力波存在时的渐近de Sitter时空的类光无穷远不是共性平坦的。（2）研究了带宇宙学常数情形下的Einstein-Maxwell方程的解的渐近行为，通过计算不同边界条件下的电磁场的渐近行为，发现在两类不同的渐近边界条件下电磁场的渐近行为是一样的。（3）研究了渐近de Sitter时空的BS量与引力波源的四极矩之间的关系，给出了具体的表达式。（4）研究了弯曲时空无力电磁场的求解问题，将Cohen用Hertz势方法研究无源Maxwell方程的方法推广到了无力电磁场的情况，并对Schwarzschild黑洞背景情形进行了具体求解；（5）研究了静态时空的热力学稳定性问题，得到了稳定性判据。我们的这些工作有助于加深了人们对于时空渐近结构、动力学演化和引力波的的进一步理解，得到了国内外同行的认可，比如国际著名的数学物理专家A.Ashtekar在其发表于顶级杂志Phys.Rev.Lett的文章中引用了我们的工作。