一些几何发展方程中的渐近分析研究

This project studies the limiting behavior of some geometric evolution equations when time goes to infinity. Precisely, we study the following three types of evolution equations: harmonic map flow on surfaces, Yang-Mills flow on four manifolds and Ricci flow on surfaces with conical singularities. The following problems are investigated: (for harmonic map flow and Yang-Mills flow) the existence of the limit, the uniqueness of the weak limit and the bubble tree and the possible geometric interpretation of the blow-up profile and (for Ricci flow) the geometric description of the limit process and the jump of the singular conformal structure.

本项目研究一些几何发展方程当时间趋于无穷大时的渐近行为。具体涉及的发展方程有三种：曲面上的调和映射流、四维流形上的Yang-Mills流和带锥奇点曲面上的Ricci流。所研究的问题包括：（针对调和映射流与Yang-Mills流）渐近极限的存在性、弱极限的唯一性、爆破过程的唯一性及其可能的几何意义和（针对Ricci流）极限过程的几何描述与奇异共形结构的突变。

项目研究了三个方面的内容。.首先是与曲面上的Ricci流有关的偏微分方程解的估计。具体的，包括对数快速扩散方程的一个磨光估计，这个估计可以用于证明不光滑初值的Ricci流的存在性；还包括一个奇异初值的解的增长阶估计。.其次是三圆定理以及在双多调和映射上的应用。具体的，包括利用三圆定理证明临界维数的多调和映射爆破过程中的能量等式与无脖子定理；还包括一个关于极小外双调和映射的孤立奇点的切锥唯一性定理。.最后是带锥奇点的空间上的偏微分方程正则性。具体的，包括带锥曲面上的Ricci流的分析；带锥形奇点的Kahler-Einstein度量的最优正则性研究；带锥空间上的Schauder估计的新证明与推广。