离散随机结构的渐近性质研究

本项目从概率论极限理论的角度研究离散随机结构的渐近性质, 主要包括随机树和与正整数相关的组合问题。随机树在很多学科都有应用，特别是在计算机科学中与算法分析和数据结构的关系非常密切。对其中的模型运用概率极限理论方法去分析，可以为很多复杂的随机现象提供理论上的分析与支持，也可以给现有的算法和数据结构注入创新的源泉。与正整数相关的组合问题主要是指正整数的分解、分割和前n个正整数的随机置换。这个方面虽然比较经典, 但目前研究仍不够深入，应用也不丰富, 此外还有基础理论上的需要。上述两种问题的渐近性质具有一个共同特点, 就是难以运用传统的极限理论（以随机变量的部分和或部分和过程的研究为标志）进行研究，从而需要进行方法上的创新,这对概率论极限定理本身理论的拓展和深入研究都具有非常积极的意义。

本项目主要从概率论极限理论的角度研究了一些离散随机结构中的渐近性问题. 整体上说, 我们已经达到了项目的预期研究结果. . 对于一些图模型的随机结构的Zagreb指数的研究, 我们取得了比较多的成果, 已发表论文3篇(其中SCI论文2篇), 投稿待审1篇. 关于Scale-free随机树的第一Zagreb指数, 我们证明了当树的大小趋向无穷时, 它的渐近性质与该随机树的参数有关, 且具有相变性质, 该结果发表在概率论领域的主流期刊Journal of Applied Probability上. 对经典随机图的两种Zagreb指数的研究, 我们证明了它们在很一般的情况下都具有渐近正态性, 并且根据该结果我们还讨论了各种长度路径的条数的联合渐近性质, 该结果发表在另外一个概率论领域主流期刊Probability in the Engineering and Informational Sciences上. 还有一些随机二叉树的Zagreb指数, 我们也一并做了讨论, 对三种不同的模型, 我们都得到它们的渐近正态性, 该结果发表在中文核心期刊《中国科学技术大学学报》上. . 关于广义随机图的研究, 我们也已经发表了一篇论文. 随着对复杂网络的研究的兴起, 一种很重要的研究方式是采用一些随机图作为复杂网络拓扑结构的模型, 但是经典随机图不满足常见的现实复杂网络的性质, 因此各种广义随机图的模型在各种文献中被引入. 一种比较广泛使用的广义随机图模型是所有顶点的权重为一组独立同分布的随机变量. 对这种广义随机图我们得到了边数和顶点度数的极限性质, 该成果发表在Statistics & Probability Letters. 此外, 还有一篇有关随机网络模型的论文, 也已投稿.