三角范畴、模型范畴与Gorenstein投射模

This research project aims to study the construction of triangulated categories and the classification of derived minimal differential graded algebras. More precisely, we will study the following four questions: 1. Classify the derived minimial DG algebras, which is motivated by the machinary of stratification for triangulated categories developed by BIK. 2. Give a criterion for the construction of complete cotorsion pairs in arbitrary exact categories. 3. Triangulate the stable categories of additive categories in order to give a model structure of Iyama-Yoshino's subfactor triangulated categories. 4. Construct Gorenstein projective modules via Reedy model structure.. The project is helpful for obtaing the structural information of triangulated categories; the development of BIK's theory; the classification of triangulated categories; the improvement of the theory of exact model categories and the application of Gorenstein homological algebra.

本项目研究三角范畴的实现和导出极小微分分次代数的分类。具体研究内容为：1. 以BIK的三角范畴分层理论为基础，引入导出极小微分分次代数并研究这类代数的分类；2. 以模型范畴为工具，给出正合范畴中余挠对完备性的判别定理；3. 在加法范畴的稳定范畴上实现(单边)三角结构，并利用这一结果给出Iyama-Yoshino子商三角范畴的模型结构; 4.以Reedy模型结构为工具构造Gorenstein 投射模。. 本项目对于获得三角范畴的结构信息、推动BIK理论的进一步发展、分类三角范畴、完善正合模型范畴的理论基础以及拓展Gorenstein同调代数的应用等将具有积极的推动作用。

本项目围绕表示理论的前言理论及其应用展开研究，主要研究课题包括正合范畴的模型结构，加法范畴的同伦理论，正合范畴的AR理论，三角范畴的recollement，有限维代数的tau-倾斜理论，Gorenstein代数，KLR代数等。项目在相关领域取得系列成果，主要进展包括：给出了有限维代数的投射维数不超过n的倾斜模等价类有极小元的判别定理，并构造了n-Gorenstein代数上相应的极小元；作为应用，给出了k-Gorenstein代数是Iwanaga-Gorenstein代数的等价条件；证明了1-Gorenstein代数的经典倾斜模与它的幂等元诱导的商代数的支撑tau-倾斜模的等价类之间有双射；研究了正合范畴上的由对象决定态射的理论，得到了态射决定子的内蕴刻画；给出了正合范畴具有Auslander-Reiten对偶的新刻画；给出了三角范畴的recollement的中间项到相应的comma范畴的epivalence 并证明了由三角范畴的morphic enhancement 三个理想诱导的商范畴均等价于三角范畴的模范畴；研究了任意正合范畴中的完备余挠对；给出了任意Frobenius范畴的稳定范畴的非闭模型结构，由此给出了Happel工作的Quillen实现；分类了一类Auslander代数上的tau-倾斜模，确定了根方零的Nakayama代数上的所有tau-倾斜模，刻画了Auslander代数上的 tau-rigid模；建立了加法范畴的同伦理论，给出了加法范畴同伦理论在三角范畴、正合模型范畴、同调代数等方面的应用；给出了分圆仿射Hecke代数及分圆KLR代数的Brundan-Kleshchev同构的统一证明，引入了Lusztig扩张代数以及Brundan-Kleshchev子代数，构造了相应代数的KLR基，并给出了一般情形下Brundan-Kleshchev型的同构定理。