某些重要可积偏微分方程初边值问题和渐近解的研究

In this project, the initial-boundary value problem and long-time asymptotic behavior of solutions for certain integrable partial differential equations (PDEs) in ferromagnets, nonlinear optical fibers and plasmas are studied. The following subjects are mainly focused on: The initial-boundary value problem via Fokas method for integrable PDEs will be solved through a series of transformations of jump contours on the half-line or finite interval; The long-time asymptotic behavior of solutions for integrable PDEs by virtue of nonlinear steepest-descent method will be analyzed, which cannot be obtained via the general energy method of PDEs. The specific equations are: (1) Landau-Lifshitz equation in ferromagnets; (2) coupled nonlinear Schrödinger-typed equations with derivative terms in nonlinear optical fibers; (3) 2+1 dimensional Kadomtsev-Petviashvilli-II and Davey-Stewartson equations. This is a new and frontier subject, with considerable difficulty. In this project, we will develop the combination of analysis methods for dealing with integrable systems and PDEs. Through the analysis of several specific equations, such project will provide useful information for experiments and applications in the related physical fields.

本项目致力于几类可积偏微分方程的初边值问题以及解的长时间渐近行为研究，这些问题具有很重要的物理背景，来源于铁磁体、非线性光纤以及流体等领域。主要研究内容包括：利用Fokas方法，在半直线或有限区域上，通过跳跃曲线的一系列变换，求解可积偏微分方程初边值问题；利用非线性速降法分析可积系统初边值问题解的长时间渐近行为，这是用一般的偏微分方程能量方法所不能做到的。具体研究的方程有：(1)铁磁体中的Landau-Lifshitz方程；(2)非线性光纤中带导数项的耦合非线性Schrödinger类方程；(3)2+1维完全可积的KP-II方程和DS方程。这是一个崭新前沿的课题，有相当的难度。对于本项目，我们将应用可积系统与微分方程相结合的分析方法，通过对几个具体问题的分析，做出高水平的科研成果，为实验和相关物理领域的应用提供有价值的信息。

本项目致力于几类可积偏微分方程的初边值问题以及解的长时间渐近行为研究，这些问题具有很重要的物理背景，来源于铁磁体、非线性光纤等领域。主要研究内容包括：利用Fokas方法，在半直线上，通过跳跃曲线的一系列变换，建立了4阶非线性薛定谔方程的初边值问题，把方程的解表示为复平面上Riemann-Hilbert问题的唯一解，谱参数满足全局关系；利用非线性速降法分析了全直线上4阶非线性薛定谔方程的初值Riemann-Hilbert问题，在三个稳定点附近研究了解的长时间渐近行为分析；利用先验估计和Galerkin方法研究了R^2和R^3上反铁磁Landau-Lifshitz-Bloch方程光滑解的存在性唯一性，并给出了严格的证明。对于本项目，我们应用可积系统与微分方程相结合的分析方法，通过对几个具体问题的分析，做出了较高水平的科研成果，希望能为实验和相关物理领域的应用提供有价值的信息。