Cahn-Hilliard/Allen-Cahn方程的若干问题

High-order diffusion equation has a distinct background and rich theoretical connotation, in the past few decades has been widely concerned. In this project, we study some problems of the Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation. Because the model is new and has good physical background, our study can afford an important reference to explain some physical phenomena. Firstly, we discuss the problems of numerical solutions. It shows the existence and uniqueness of numerical solutions. Secondly, We discuss the periodic problem of the model. We use Leray-Schauder theorem and priori estimate in order to obtain the existence and uniqueness. And it shows the upper boundary of L ^infinity. Thirdly, we discuss the optimal control problem of the model. Using the Galerkin method, the optimal control problem of model is shown. Using the energy functional to adjust inequality, it proves the existence of weak solution. By these estimates, the Lions on the classical theory of optimal solution is used to prove the existence of the optimal solution. Finally, the model is converted into approximation problem discussion in order to study dynamic boundary problem. By application of compress mapping and the energy estimate method, the existence of global solution is obtained by taking limit.

高阶扩散方程具有鲜明的背景和丰富的理论内涵, 在过去几十年得到了广泛的关注. 本项目研究Cahn-Hilliard/Allen-Cahn方程的若干问题. 由于模型比较新颖, 物理背景浓厚，所以研究结果对解释某些物理现象能提供重要参考. 首先讨论数值解法问题，给出数值解的存在唯一性. 其次讨论周期问题. 利用Leray-Schauder不动点定理以及先验估计，证明周期解的存在唯一性，并且给出时间周期解的L无穷模上界. 再次讨论该模型的最优控制问题. 利用Galerkin方法给出模型最优控制问题. 利用方程的能量泛函并调整使用不等式，证明弱解存在性. 并在估计的基础上，利用Lions关于最优解的经典理论来证明最优解的存在性. 最后, 为了研究动态边界问题，将模型转化为逼近问题的讨论，应用压缩映射，能量估计等方法，再通过取极限来得到原问题整体解的存在性.

高阶扩散方程具有鲜明的物理背景和丰富的理论内涵，它来源于自然界中广泛存在的扩散现象、渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体学等研究领域。在过去几十年里，扩散方程得到了广泛的关注。本项目研究的是一类与微观机制有关的高阶扩散方程，即Cahn-Hilliard/Allen-Cahn方程。对于此类方程的研究已经有了一些研究成果，例如广义解，整体解，相关动力系统的整体吸引子等等，但还是很少的。我们研究的主要内容为扩散方程周期解存在性问题，弱解的存在性问题以及最优解问题。在研究扩散方程过程中，经常会碰到由非线性项和低阶项带来的困难，一般来说很难给出一个统一的解决方法。我们根据方程本身的特点，寻求解决办法，这是在研究过程中克服的主要问题。.项目执行期间主要进行了以下工作：根据研究内容及方向，并结合物理背景和适当的边值条件及界值条件，分析并研究了Cahn-Hilliard/Allen-Cahn方程弱解问题，扩散方程周期问题以及最优控制问题。1.结合偏微分方程理论及索伯列夫空间等理论，利用Leray-Schauder不动点定理得出此方程在空间上存在不动点，从而得到Cahn-Hilliard/Allen-Cahn时间周期解是存在的。与此同时给出时间周期解的L无穷模上界；2.主要采用解抛物型方程初边值问题的一般方法，利用索伯列夫嵌入定理和插值不等式，并通过对所讨论模型结构的分析，克服了非线性扩散项和低阶项存在带来的主要困难。并通过线性半群的正则估计等方法，对带有初边值问题Cahn-Hilliard/Allen-Cahn方程计算出相应的先验估计，完成了一类简化介观方程的存在性问题研究；3.最后讨论了扩散方程的最优解存在性问题。.研究成果将在一定程度上丰富偏微分方程的理论，且所讨论的问题具有深刻的物理背景，研究成果可对解释某些物理现象提供重要参考。.