带惯性项的Cahn-Hilliard方程解的适定性研究

本项目主要研究带惯性项的Cahn-Hilliard方程解的适定性。该方程与带阻尼的波动方程有类似的形式。但是，处理起来有较大不同之处。首先，标准的能量估计很难得到经典解的整体存在性，即使是小初值情形。其次，该方程不能象波动方程一样写出解的具体表达式，而且解的低频部分关于时间的衰减速度只有带阻尼的波动方程的一半，高频部分出现色散现象，给研究带来新的困难。申请人尝试做以下几个方面的工作：①利用格林函数结合能量方法得到Sobolev空间下Cauchy问题和半空间问题的小初值经典解的整体存在性和最佳衰减估计。②经典解的爆破行为，包括爆破机制，爆破时间，以及非线性临界指标等。③利用现代傅里叶分析方法，如Littlewood-paley分解或Strichartz型时空估计，双线性估计等研究在低正则性框架下的解的适定性问题。

按照项目申请书和计划书的规划，项目主持人与合作者主要对一些双曲-抛物耦合型偏微分方程解的整体存在性，爆破行为和大时间行为进行了系统和深入的研究。具体的模型包括带惯性项的Cahn-Hilliard方程，双极的可压缩Euler-Poisson方程组，带阻尼的可压缩Euler方程组，可压缩Navier-Stokes-Poisson方程组，简化的辐射流体模型，可压缩液晶流模型等。利用调和分析方法，格林函数方法结合能量方法，我们得到了上述的模型小初值经典解关于时间的最佳衰减估计以及解的逐点估计（空时估计）。在解的整体存在性和爆破行为方面也取得了一些较重要的研究进展。其中，关于最佳衰减率这一方面，我们的结果均是对以前结果的较大的改进。而逐点估计的结果本来就个全新的，是通常能量方法和谱分析方法无法得到的。而我们对于带惯性项的Cahn-Hilliard方程的研究，无论是小初值还是大初值情形柯西问题的经典解都是一种新的尝试，并得到了一些较为重要的结果。比如，我们得到的大初值的整体存在性和爆破行为都包含了较为一般的非线性项情形。