丛倾斜理论与Hall代数

We will study the cluster tilting theory in triangulated categories, (quantum)cluster algebras and Hall algebras, their categorifications and relations between them. More precisely, we will study the mutation structure of cluster tilting objects (or subcategories) in triangulated categories , representations of endomorphism algebras of cluster tilting objects (such as (support) tau-tilting modules, infinite dimensional representations and so on); higher cluster tilting theory in higher Calabi-Yau triangulated categories; We will also study the structure and symmetries of cluster algebras (for examples, the cluster subalgebras and cluster automorphisms of cluster algebras), study Hall algebras of triangulated categories and give some categorifications of (quantum) cluster algebras by Hall algebra's approch.

本项目主要研究三角范畴的丛倾斜理论，丛代数，量子丛代数与Hall代数,它们的范畴化及其联系。具体研究三角范畴的丛倾斜对象（或子范畴）的mutation结构，丛倾斜对象的自同态代数表示理论（如（support）tau-tilting模,无限维表示等），高维Calabi-Yau-三角范畴的高阶丛倾斜理论；研究丛代数的结构与对称（如丛子代数，丛自同构群等）， 三角范畴的Hall代数， 以及用Hall代数的方法给出丛代数，量子丛代数的范畴化等等。

Fomin-Zelevinsky的丛代数的范畴化使得代数表示论的重要理论-倾斜理论得到新的发展，进而引发出丛倾斜理论；丛倾斜理论是近十多年来代数表示论方向的一个重要研究领域：它一方面给出了一些重要丛代数，量子丛代数的实现；另一方面发现了箭图表示的新的组合结构--丛结构。丛本项目主要研究了一般三角范畴的丛倾斜理论，特别是三角范畴以及由它引生出的阿贝尔范畴之间的深入联系，研究了丛代数与Hall代数,它们的范畴化及其联系。具体研究三角范畴的丛倾斜对象（或子范畴）的mutation结构，丛倾斜对象的自同态代数表示理论（如（support）tau-tilting模,无限维表示等），高维Calabi-Yau-三角范畴的高阶丛倾斜理论；研究丛代数的结构与对称（如丛子代数，丛自同构群等）， 三角范畴的Hall代数， 以及用Hall代数的方法给出丛代数，量子丛代数的范畴化等等。