GL(n)上的Hecke-Maass尖形式的Hecke特征值的分布

Hecke-Maass cusp forms play an important role in Langlands Program. Their corresponding automorphic L-functions are defined by their Hecke eigenvalues. Therefore, it is of great theoretical significance to investigate their Hecke eigenvalues. In this project, we focus on the distribution of their Hecke eigenvalues and study the following four topics:.(1) The number of "exceptional" Hecke-Maass cusp forms on GL(n);.(2) Fluctuations in the Sato-Tate conjecture on average for GL(n);.(3) Quantitative version of the vertical Sato-Tate conjecture for GL(n);.(4) A large sieve inequality of Elliott-Montgomery-Vaughan type for .Hecke-Maass cusp forms on GL(n) with applications...The expected results of this project will have important impacts on the study of Hecke eigenvalues for GL(n).

GL(n)上的Hecke-Maass尖形式是Langlands纲领中的重要内容，它们对应的自守L-函数由它们的Hecke特征值定义．因此，对它们的Hecke特征值的研究具有非常重要的理论意义．本项目拟主要研究它们的Hecke特征值的分布，包括以下四个课题：.(1)每个素数p对应的GL(n)上的“例外”Hecke-Maass尖形式的个数的上界估计；.(2)GL(n)上的Hecke-Maass尖形式在平均意义下的Sato-Tate猜想及其残差分析；.(3)GL(n)上的Hecke-Maass尖形式的垂直Sato-Tate猜想的收敛速度；.(4)GL(n)上的Hecke-Maass尖形式的Elliott-Montgomery-Vaughan类型的大筛法型.不等式及其应用...本项目预期的研究结果将会对GL(n)上的Hecke特征值的研究产生重要影响.

GL(n)上的Hecke-Maass尖形式是Langlands纲领中的重要内容. 本项目主要研究GL(n)上的Hecke-Maass尖形式的广义Ramanujan猜想的两个例外集问题和Hecke特征值的分布问题，并主要得到了如下结果：.(1)对任意一个固定的素数p，得到了在p处不满足GL(n)(n>2)上的广义Ramanujan猜想的Hecke-Maass尖形式的个数的上界估计并研究了其在Hecke特征值的Sato-Tate分布上的应用；.(2)对GL(3)上的任意一个固定的Hecke-Maass尖形式，在两个标准假设下，证明了不满足广义Ramanujan猜想的素数在所有素数中的自然密度至多为12/25；.(3)得到了GL(2)上的Hecke-Maass尖形式的第一个负Hecke特征值的一个量化结果；.(4)得到了GL(n)(n>2)上的Hecke-Maass尖形式的Elliott-Montgomery-Vaughan类型的大筛法型不等式，并应用它研究GL(n)上的Linnik问题和Montgomery-Vaughan猜想.