非负矩阵指数理论的猜想

Combinatorial matrix theory is an interdisciplinary combination of combinatorics and matrix theory, and nonnegative matrix theory is one of its main research directions. Nonnegative matrix index theory is not only closely linked with many areas of mathematics, but also has a wide range of practical applications in many aspects, e.g. sociology, economics, information science. This project concentrates nonnegative matrix index theory and its conjectures. The contents include: the maximum index, extremal matrix and set of indices for the generalized r-exponents, a conjecture of the kth lower multi-exponent, a conjecture of the fully indecomposable exponent and Hall exponent. It will be expected to improve the theoretical results for the generalized r-exponents, and further resolve the above two conjectures. It is significant for enriching and developing nonnegative matrix index theory.

组合矩阵论是组合数学与矩阵论相结合的交叉学科，非负矩阵论是该学科的主流研究方向之一，其中的指数理论不仅与众多数学领域有密切的联系，而且在社会学、经济学、信息科学等方面都有广泛的应用背景。本项目以非负矩阵的指数理论及其猜想为研究对象，重点探索几类广义本原r-指数的界、极矩阵和指数集等问题，以及第k重下指数的猜想，完全不可分指数与Hall指数的猜想等。项目预期将丰富广义本原r-指数的理论成果，并进一步解决上述的两个猜想。项目的研究成果对完善和发展非负矩阵的指数理论有重要意义。

组合数学与图论是21世纪数学研究的前沿领域。组合矩阵论是组合数学与矩阵论、图论相结合的交叉学科，也是近40年来兴起并迅速发展的一个数学分支，其吸引了国内外许多学者的关注。本项目主要研究了组合矩阵（包括非负矩阵和符号矩阵）的指数理论和有关猜想，以及若干组合论、图论方向的问题，具体包括：.(1) 基于数学公理化的思想，提出了“组合矩阵的结构指数”这一理论体系，开拓了组合矩阵指数理论研究的新视野；.(2) 利用有向图的模拟、矩阵分析工具、特殊子图的构造等方法，探讨了四类广义本原r-指数的上界估值和极矩阵刻画，第k重下指数的猜想，完全不可分指数与Hall指数的猜想等组合矩阵结构指数的问题；.(3) 采用组合计数方面的有关技巧，研究了给定元素（及性质）的无交分拆及其计数问题；.(4) 作为经典的无向连通图划分定理的推广，提出了有向连通图划分定理，同时探讨了若干（有向）连通图类的计数问题，特别是给出了著名的标号树计数的Cayley公式一个新的简化证明；.(5) 利用化学图论中的常用方法，对“根据增强型萨格勒布指数对图排序”该问题进行了研究；.(6) 探讨了奇、偶双随机矩阵的性质及其刻画的等价性，研究了奇、偶双随机矩阵其（奇、偶）积和式的上、下确界问题，提出了一个有研究价值的猜想。. 本项目共出版了1本专著，已发表或录用了6篇论文（其中2篇SCI收录，3篇核心），基本达到了预期目标。项目的研究成果对丰富和发展组合矩阵（特别是非负矩阵）的指数理论、组合论以及图论均有一定的意义。