组合矩阵的结构指数理论

Combinatorial matrix theory is an interdisciplinary combination of combinatorics and matrix theory. The research of matrices power sequences indices is one of the most important contents in combinatorial matrix theory. The structural indices of combinatorial matrices, with a unified viewpoint, integrate and systematize different kinds of indices. It not only summarily provide a theoretical system covering combinatorial matrix indices, which let us study all kinds of indices from a higher perspective, but also guide us to start a new exploration in the system blank, and open up a new field for the research of indices theory. This project aims to study the conjectures and difficult problems in the classical index theory (including the maximum index problem for exponent of w-indecomposability, kth upper r-multiexponent, kth lower r-multiexponent, and the maximum base problem for kth lower base), discuss some new indices which are meaningful and practical (including four kinds of generalized τ-bases, scrambling base and w-indecomposable base), and further enrich and improve the system of (strict or weak) structural indices of combinatorial matrices. The results of this project are significant for developing combinatorial matrix index theory.

组合矩阵论是组合数学与矩阵论相结合的交叉学科，对矩阵幂序列指数的研究是组合矩阵论中最重要的内容之一。组合矩阵的结构指数这一新概念，用统一的观点整合和系统化了原先独立分散的各类形形式式的不同指数，不仅总结性地提供了一个涵盖组合矩阵指数的理论体系，让我们从更高的角度对各类指数展开研究，而且将引导我们在体系的空白中开始新的探索，开拓了指数理论研究的新视野。本项目旨在研究若干经典指数的猜想难题（如：w-不可分指数、第k重上r-指数、第k重下r-指数的MI问题，以及第k重下基指数的MB问题等），探讨几类有重要意义的新指数（如：四类广义τ-基指数、收敛基指数和w-不可分基指数等），进一步丰富和完善组合矩阵的结构指数体系（包括结构指数、严格结构指数和弱结构指数系统）。项目的研究成果对发展组合矩阵的指数理论有重要意义。

组合矩阵论是组合数学与矩阵论、图论相结合的交叉学科，也是近50年来兴起并迅速发展的一个数学分支，其吸引了国内外许多学者的关注。组合矩阵的结构指数是用统一的观点整合和系统化了原先独立分散的各类形形式式的不同指数，开拓了指数理论研究的新视野。本项目一方面研究了组合矩阵的若干结构指数问题，提出并探讨了数类有重要意义的新指数，进一步丰富和完善了组合矩阵的结构指数体系，另一方面研究了组合数学与图论方向的若干热门问题。详细情况如下：.（1）提出并逐步丰富完善了“组合矩阵的结构指数”这一理论体系，开拓了指数理论研究的新视野；.（2）提出并研究了一类新的结构指数——本原不可幂符号矩阵的w-不可分基指数；.（3）进一步研究了2012年所提出的四类结构指数——广义t-基指数；.（4）作为著名的Renyi公式（标号连通单圈图的计数显式）的自然推广，研究并给出了标号匀称(k+1)秩(p,q)超单圈图的计数公式；.（5）研究了非负张量本原性的性质与特征刻画问题；.（6）分别完全刻画了给定直径下使得AZI指数取得最小值和使得ABC指数取得最大值的树；.（7）研究并解决了树和单圈图的Wiener指数和两类Zagreb指数的比较问题；.（8）对规范的Laplacian谱半径和Randic谱展进行了研究；.（9）研究了给定度序列的锥图的广义谱半径的优超定理；.（10）对超欧拉线图问题展开了研究；. 在本项目执行期间共撰写了10篇论文，其中5篇已正式发表，1篇已录用，基本达到了预期目标。项目的研究成果对丰富和发展组合矩阵论及图论均有一定的意义。