非线性随机分析中的停时问题及其应用

This project focuses on the stopping time problems in nonlinear stochastic analysis and their applications. Nonlinear stochastic analysis was introduced by Professor Shige PENG in 2006, which is a new filed of probability theory. This theory can be used to solve some complicate problems with Knightian uncertainty. Stopping time is a powerful tool in the classical stochastic analysis. It can be used to simplify the complicate problems in stochastic analysis. It has a great meaning of theory when we study and apply the technique of stopping time in nonlinear stochastic analysis. There are few results for properties of stopping times in the framework of nonlinear stochastic analysis. This project will mainly study the pathwise property of Ito’s integral with stopping time, conditional expectation of random variables with stopping time and Doob optimal stopping theorem in the framework of nonlinear stochastic analysis. This results will lay the theoretical foundation for applying stopping time in nonlinear stochastic analysis, and will provide a powerful tool when we further develop the nonlinear expectation theory.

本项目主要研究非线性随机分析中的停时问题及其应用。非线性随机分析是彭实戈院士于2016年提出的一个崭新的概率论领域，可以用来处理一系列复杂的带有奈特不确定性的问题。停时在经典随机分析中是一个强有力的工具，可以将复杂的随机分析问题简单化。在非线性随机分析框架中研究停时并发展和应用停时技术具有较强的理论意义。目前在非线性随机分析中研究停时性质的结果较少。本项目将重点考察带有停时的Ito积分的轨道性质，带有停时的随机变量的条件期望以及非线性随机分析中的Doob最优停止定理等问题，这将为在非线性随机分析中应用停时技术奠定理论基础，为进一步发展非线性期望理论提供一个强有力的工具。

非线性随机分析是彭实戈院士于2006年提出的一个崭新的概率论领域，该理论可以用来处理金融市场中一系列复杂的带有奈特不确定性问题。本项目围绕非线性随机分析中的停时以及相关问题展开研究，本项目取得的主要成果有：1.借助非线性偏微分方程技巧对高维G-布朗运动驱动的一般形式Ito过程的下容度问题进行了刻画。该结果对于进一步研究Ito过程的首达时和逃逸时等问题提供了一定的理论和方法支持。2.得到了关于次线性期望的严格比较定理，该基础性的结果对于研究非线性期望下由G-布朗运动驱动的金融市场中是否存在套利等问题奠定了理论基础。3.在应用方面，研究了带有波动率不确定性的Black–Scholes–Barenblatt期权定价模型的严格比较定理和严格次可加性，该结果可以用于处理金融市场中套利和风险分散等问题。