基于展望理论的赌徒停时策略问题的研究

While neoclassical economics assumes that individual is rational, behavioral finance points out that individual can be irrational. As one of the most important works in the area of behavioral finance, cumulative prospect theory contains three key factors used to describe individual risk preferences: first, reference point; second, S-shaped utility function; third, inverse S-shaped probability weighting function. This proposal mainly focuses on cumulative prospect theory and on the stopping strategies in a gambling model of binomial tree, including 1.optimal stopping strategies of pre-committed CPT gamblers and actual stopping behavior of naïve CPT gamblers in the finite time horizon; 2.optimal stopping strategies of pre-committed CPT gamblers and actual stopping behavior of naïve CPT gamblers in asymmetric games; 3.equilibrium strategies of sophisticated gamblers with weighted average preferences of expected utility theory and cumulative prospect theory. This work not only can provide methods to systematically solving stopping problems with nonlinear expectations from probability weighting and complete Skorokhod embedding theorems in the discrete time, but also can illustrate impacts from expected utility theory and cumulative prospect theory on decision-making.

与传统的经济学假设理性行为不同，行为金融理论则认为个体会出现非理性的行为。作为行为金融领域的一项重要工作，展望理论用三个关键因素刻画个体的风险偏好：参照点，S型效用函数，倒S型概率扭曲函数。本项目将重点基于展望理论，研究二叉树赌博模型下的停时策略问题，包括：1.有穷时间期限下具有展望理论风险偏好的pre-committed赌徒与naïve赌徒的最优停时与实际停时；2.不对称游戏中具有展望理论风险偏好的pre-committed赌徒与naïve赌徒的最优停时与实际停时；3.以期望效用函数与展望理论的加权平均作为风险偏好的sophisticated赌徒的均衡策略。本项目的研究不仅可以提供系统解决带有概率扭曲非线性期望的停时问题的方法，完备离散Skorokhod嵌入定理，还可以揭示期望效用函数与展望理论对决策问题的影响。

本项目以展望理论作为刻画个体风险偏好的框架，其中有三个关键因素不同于传统的期望效用函数理论。第一是参照点；第二是基于参照点将效用函数应用于盈利或损失，同时损失厌恶，且边际效用递减；第三是概率扭曲函数。本项目基于展望理论研究了赌徒在赌场赌博问题中的停时策略。由于倒S型概率扭曲函数使个体在不同时间对同一事件的概率扭曲程度不同，基于展望理论风险偏好的赌徒的最优停时具有时间不一致性，即在0时刻的最优策略不再是他在将来时刻的最优策略。根据个体对时间不一致性的认知程度以及自我控制程度，本项目考虑了如下三个子课题：第一，预先承诺型与单纯型赌徒在有穷时间期限下的停时策略；第二，在不对称赌博游戏中预先承诺型与单纯型赌徒的停时策略；第三，复杂型赌徒的具有时间一致性的均衡策略。.由于停时问题的目标函数缺乏时间一致性，传统的动态规划和鞅方法不能解决该类具有概率扭曲函数作用的最优停时问题；因此本项目提出了系统地解决此类问题的方法。由于停时问题的目标函数与停时时刻赌徒的盈利或损失状态的概率分布有关，首先将决策变量转变为概率分布函数。其次，为了刻画新问题的可行解的集合，本项目提出并证明了离散时间下基于二叉树模型的Skorokhod嵌入定理，成功地将原问题转变为无穷维或有穷维优化问题。最后应用两种不同的嵌入方法，导出了最优的停时。研究结果显示，（1）单纯型赌徒的实际停时与预先承诺型完全相反：在大部分参数下，单纯型赌徒在亏损时继续赌博，在盈利时停止；（2）在允许随机化决策时，赌徒会依赖外部随机信息，例如抛硬币来帮助决策，因为随机化决策能提高目标函数价值；（3）复杂型个体在大部分参数下不参与赌博。