GL_2(Z_p)和GL_3(Z_p)的pro-p Iwahori子群的Iwasawa代数的正规元素

Iwasawa algebras come from arithmetic algebraic geometry. These algebras with topological settings are not fully understood by people. It is well known that normal elements of the algebras are closely related to their ideals. This project is aimed at a class of research contents of noncommutative Iwasawa algebras: normal elements of Iwasawa algebras Ω_G over the pro-p Iwahori subgroups G of GL_2(Z_p) and GL_3(Z_p). We want to improve the techniques used in the research of normal elements of Iwasawa algebras over Γ_1(SL_n(Z_p))(p≠2) so that we can describe normal elements of Iwasawa algebras over the pro-p Iwahori subgroup of GL_2(Z_p) by a purely computational method. We will also hope to generalize the research method to the case of GL_3(Z_p). These studies can promote the further development of Iwasawa algebraic theory. The results and methods obtained can be directly used to the research of the arithmetic of elliptic curves and to provide a good foundation for the investigation of p-adic langlands programme.

Iwasawa代数来源于算术代数几何，这些有拓扑性质的代数的结构不为人们所熟知，而正规元素和代数的理想密切相关。本项目主要研究非交换Iwasawa代数方向的一类问题：一般线性群GL_2(Z_p)及GL_3(Z_p)的pro-p Iwahori子群G的Iwasawa代数Ω_G的正规元素，其中GL_2(Z_p)情形为本项目的核心研究内容。我们将改进Γ_1(SL_n(Z_p))(p≠2)情形的正规元素研究方法，用纯粹计算的方式研究GL_2(Z_p)的pro-p Iwahori子群的Iwasawa代数的正规元素，并进一步考虑GL_3(Z_p)的pro-p Iwahori子群的Iwasawa代数的正规元素。这些研究能够促进Iwasawa代数理论的进一步发展，所得结果和方法能够应用于椭圆曲线算术理论并为未来探索p-adic Langlands纲领奠定良好的基础。

Iwasawa代数来源于算术代数几何，这些有拓扑性质的代数的结构不为人们所熟知，而正规元素和代数的理想密切相关。通过纯粹的计算方式，项目组成员魏丰教授和他的学生卞达证明特殊线性群的一次同余子群G=Γ_1(SL_2(Z_p))(p≠2)上的Iwasawa代数Ω_G的非零正规元都是平凡的。在此基础上，项目主持人韩栋和魏丰教授进一步证明了特殊线性群的一次同余子群G=Γ_1(SL_n(Z_p))(n≥3,p≠2)上的Iwasawa代数Ω_G上的正规元都是平凡的。..本项目主要研究了非交换Iwasawa代数方向的两类问题：一般线性群GL_2(Z_p)的pro-p Iwahori子群G的Iwasawa代数Ω_G的正规元素及其在椭圆曲线的应用；半单单连通可裂Chevalley群的一次同余核的Iwasawa代数的正规元素。..我们首先用纯粹计算的方式研究了GL_2(Z_p)的pro-p Iwahori子群G的Iwasawa代数Ω_G的正规元素，发现Ω_G的正规元素的计算极其复杂，而且碰到了一些仅凭计算似乎难以解决的问题，这些困难都和GL_2(Z_p)的pro-p Iwahori子群的Iwasawa代数的特殊结构有关。于是我们暂时改用理论证明的方法，即用理想的方法研究了GL_2(Z_p)的pro-p Iwahori子群G的Iwasawa代数Ω_G的正规元素，证明了上面存在非平凡的正规元，且得到了该正规元以及中心的形式。该成果正在整理中。与此同时我们通过改进特殊线性群的一次同余子群情形的正规元素研究方法，用丁肯图研究了半单单连通可裂Chevalley群的一次同余核的Iwasawa代数的正规元素，证明了其上的正规元都是平凡的，该成果发表在《manuscripta mathematica》。..在正规元的研究中，我们的技术和方法完全是基于复杂的矩阵、数论、多项式和偏微分方程的计算。这种单纯的计算对于理想存在性问题的解决是有很大局限性的。但是我们希望通过这种具体的计算，抽象出一个通用的理论证明，从而能够揭示非交换Iwasawa代数非平凡理想的构造和可控性机制；展现它们在椭圆曲线算术的应用前景；并期望为未来探索p进Langlands纲领提供有益尝试并奠定良好的开端。