连续时空分枝过程与相关带跳随机方程

Superprocesses and continuous-state branching processes (CB processes) are two of the main continuous space-time branching processes. As measure-valued and real-valued processes, respectively, they find important applications in the fields of physics, biology and stochastic finance. One of the most important techniques in the study of continuous space-time branching processes is the associated stochastic equations. People often introduce jumps to describe phenomenon with drastic fluctuations over short time periods to find more realistic modeling of random disturbance. Hence, the study of stochastic equations with jumps is both of practical significance and of urgent demands by the society. At the same time, the study of stochastic equations with jumps can also bring new vitality to the research of continuous space-time branching processes. . On the theoretical side, based on existing research we will improve the theories of superprocesses and the properties of solutions to the related stochastic partial differential equations (SPDE) with jumps and non-Lipschitz coefficient (e.g. pathwise uniqueness) in this project. Then new theories and new methods of superprocesses and SPDEs with jumps will be explored and further developed. We will also study continuous-state non-linear branching processes with competition and their related stochastic differential equations. On the application side, we will study the parameter estimation of a CB process, which is also a financial model (CIR model with jumps), and a CIR model driven by a fractional Lévy process, which has a similar form as the CIR model with jumps.

超过程和连续状态分枝过程(CB 过程)是两类最主要的连续时空分枝过程，它们分别作为测度值和实值过程在物理、生物和随机金融等学科中有着重要的应用价值，随机方程是研究连续时空分枝过程最重要的工具之一。现实的随机扰动中经常出现带跳现象，这使得研究带跳随机方程具有重大的现实意义和迫切的社会需求。同时，带跳随机方程的研究也为连续时空分枝过程的研究注入了新的活力。. 本项目在理论方面，拟在现有研究基础上，完善超过程理论与相关带跳且非 Lipschitz 系数随机偏微分方程(SPDE)解的性质(轨道唯一性等)，探索与发展超过程和 SPDE 的新理论和新方法，研究带竞争的连续状态非线性分枝过程及相关带跳随机微分方程。在应用方面，拟研究一类 CB 过程满足的金融模型(带跳 CIR 模型)和其形式上相似的分数 Lévy 过程驱动的 CIR 模型的参数估计。

连续时空分枝过程主要包含超过程和连续状态分枝过程，在物理、生物和随机金融等学科中有着重要的应用价值，随机方程是研究连续时空分枝过程最重要的工具之一，现实中经常会出现带跳随机扰动，这使得带跳随机方程具有重大的现实意义和迫切的社会需求，带跳随机方程的研究也为连续时空分枝过程的研究注入了新的活力。. 四年来，围绕着非李谱希兹系数的带跳随机偏微分方程，带竞争的连续状态非线性分枝过程和分数过程驱动的模型为主线，我们取得了一系列研究成果，出版学术专著1部，发表学术论文11篇，其中国内外同行认可的SCI期刊论文8篇，已经有3篇学术论文投稿到SCI期刊，正在审稿中。. 本项目建立了平稳有色噪声驱动的随机偏微分方程解的存在性和轨道唯一性，证明了平稳分枝超Lévy过程密度对应的随机偏微分方程解的轨道唯一性，研究了一类随机环境中的超Lévy过程鞅问题的存在唯一性，总结了非李谱希兹系数的随机偏微分方程与相关分枝过程的关系, 以及超过程的分布函数与相关非李谱希兹系数的随机偏微分方程的联系；建立了连续状态非线性分枝过程的灭绝条件、爆炸条件和从无穷处流出的条件，建立了连续状态非线性分枝过程的离散逼近，研究了时间变换后的谱正Lévy过程从无穷处流出的充要条件及其他相关性质；研究了分数过程驱动的随机偏微分方程强解的存在性和强唯一性及时空连续性。这些研究成果，丰富和发展了随机偏微分方程和分枝过程的理论和方法，使得我们对连续时空分枝过程和相关随机方程有了更清晰的认识和了解，为其更好地应用到金融和生物等领域奠定了理论基础。. 在学术交流方面，我们积极组织和参加学术会议，积极到其它高校开展学术交流，邀请国内外同行访问交流。本项目组成员2人已硕士毕业，还培养了8名硕士研究生，其中1名已经毕业。