随机树, 随机图与随机过程

A remarkable feature of modern mathematics is its branches interact each other more deeply than ever before and its applications to other subjects become more and more widespread. The strategies of for the study of random trees and graphs come from theoretical subjects including probability, combinatorics, topology, ergodicity theory, while the models and problems to be studied arise in some way from applied subjects such as biology, physics, computer networks and so on. The area of random trees and random graphs has become a fascinating hot point in mathematics. The purpose of this project is to study some theoretical problems in the area. We mainly focus on Galton-Watson trees and Lévy trees, tree-valued processes and their limit theorems, random walks on random trees and graphs, interacting particle systems on random trees and graphs, random walks in random environments, interacting double Markov processes, eigenvalues of random graphs and their distributions. Through the exploration of some specific problems, we hope to understand more deeply the properties (such as universality, conformal invariance property, and so on) of random graphs and related models, and also how a random graph is shaped by a random motion carried by it. In this way, we wish to find some useful tools and methods to tackle the standing open problems in the area.

现代数学的显著特点是各个分支之间的相互渗透更加深入, 同时在其他学科中的应用更加广泛. 随机树和随机图的研究方法来自包括概率论, 组合论, 拓扑学, 遍历论在内的理论学科, 而研究的模型和问题则直接或间接地来源于生物, 物理, 计算机网络等应用学科. 随机树和随机图已经成为数学中最受关注的热点之一. 本项目旨在探讨随机树与随机图研究领域中的若干理论问题. 主要内容包括如下几个部分: Galton-Watson树和Lévy树, 树值过程及其极限定理, 随机树和图上的随机游动, 随机树和图上的粒子系统, 随机环境中的随机游动, 交互作用双马氏过程, 随机图特征值及其分布. 我们的目的是要通过对一些具体问题的研究, 对随机图和相关模型的性质(如普遍性, 共形不变性等)以及随机图上的随机运动对于图的塑造作用有更为深刻的理解, 从而摸索出对一些遗留问题的有效的处理方法和工具.

本项目运用概率论与随机过程方法，研究随机树、随机图和分枝过程领域的关键理论问题。上述研究领域近10年来发展非常迅速，其理论在生物复杂群体、随机能量模型等的研究中有重要应用，如见专著Bansaye和Méléard (Springer, 2015)、Bovier (Cambridge, 2017)和Pardoux (Springer, 2016)中的综述。. 项目在各个课题的研究上均取得了实质性推进，发展了有特色的研究工具，解决了若干困难的遗留问题(open problem)。特别地，项目成员系统发展了分枝过程的随机方程方法，并给出了该方法的多种的应用，包括利用无小于-1的跳跃的Lévy过程驱动的随机方程定义和构造了随机环境下的连续状态分枝过程。在分枝随机游动的研究方面，完整给出了美国科学院院士Harris (Springer, 1963)猜想的极限定理对应的经验分布的大偏差概率。在随机树的研究方面，部分地回答了Bertoin和Miermont (Ann. Appl. Probab., 2013)关于随机树及其分裂树的联合收敛问题。在最大值型迭代系统的研究方面，证明了Derrida和Retaux (J. Stat. Phys., 2014)关于系统相变的猜想的弱化版本。在图的图兰(Turan)型与谱图兰型极值方面，完整地解决了Gorgol (Graphs Combin., 2011)提出的关于不含不交路并的路图兰型的极值问题，并且刻画了相对应的极图。. 本项目的研究成果为相关领域的进一步研究奠定了基础，受到了国内外同行的关注，项目成员应邀在国际会议做学术报告50余次。项目的研究探索为2020年国家重点研发计划“变革性技术关键科学问题”重点专项“随机数学及数学与物理的交叉研究”项目的立项、关键科学问题的提出、研究方案的确定等提供了重要的理论基础支撑。