具有记忆性的ε-分数Wishart过程及其在金融中应用

In this project, based on fractional Brownian motions' memory properties, we firstly establishε-fractional Wishart processes and study their distributions and memory properties. Then we apply ε-fractional Wishart processes to mathematical finance and construct stochastic interest models and stochastic volatility models to consider financial problems of investors' optimal investing and option pricing. By methods of risk-neutral pricing, we price zero-coupon bonds under stochastic interest models, options under stochastic volatility models and multi-asset options under stochastic correlation models. Making use of stochastic control, we discuss optimal investing for investors and utility-based pricing for European-style options. By means of theoretical and empirical researches in our project, we expect to complete the theory of ε-fractional Wishart processes with memory properties and obtain analytical solutions or efficient approximating methods for optimal investing and option pricing. Furthermore, using properties of memory and randomness, we also expect to explain serial correlation and uncertainty of financial data and to show that how memory properties affect the term structure of interest, the price of option and the optimal investing strategy in the financial market.

在本项目中，基于分数Brown运动的记忆性，我们首先在数学理论上建立ε-分数Wishart过程，研究其分布、条件分布和记忆性等性质。然后，我们将ε-分数Wishart过程应用到金融数学理论，建立随机利率和随机波动率模型，研究金融市场最优投资和欧式衍生品定价问题：通过风险中性定价方法分别讨论随机利率下的零息票债券定价、随机波动率下的期权定价以及随机相关性下的多资产期权定价；利用随机控制方法考虑投资者最优投资和欧式衍生品的效用定价问题。通过项目的开展和实施，我们期望完善具有记忆性的ε-分数Wishart过程的理论；在金融应用中获得投资者最优投资和欧式衍生品定价的精确解或者有效的近似方法；利用ε-分数Wishart过程的记忆性和随机性，解释金融数据的序列相关性和波动的不确定性，揭示记忆性对于市场利率期限结构、期权价格以及市场投资者最优投资策略的影响。

在真实的金融市场投资行为中，投资者不可能只关注当前的信息，而忽略历史已知信息的影响，即金融数据具有序列相关性。最典型背景是熊市和牛市股票市场的投资行为。当股票市场处于熊市状态，股票价格整体呈现下跌，处于较低水平，投资者会由于历史股票的连续下跌表现，对于股票投资产生消极影响，对于股票价格形成“坏记忆”，从而投资者的投资行为异于一般股票市场状态的投资行为，如更倾向于投资风险更小的债券；当股票市场处于牛市状态，股票价格整体呈现上涨，处于较高水平，投资者会由于历史股票的连续上涨表现，对于股票投资产生积极影响，对于股票价格形成“好记忆”，从而投资者的投资行为也会异于一般股票市场状态的投资行为，如倾向于投资更多的股票份额。本项目利用分数过程和经典的Ito积分，构建了表现此类金融数据序列相关性的随机过程即ɛ-分数Wishart过程及其相关分数过程，并在此基础上研究了公司金融中投资者保护问题。首先，本项目构建了ɛ-分数Wishart过程，并研究相关分数过程的路径依赖性和记忆性。其次，为相关分数过程构建逼近格式，解决分数过程路径依赖计算问题以及分数过程条件期望的近似计算方法，并严格证明了这种逼近的收敛性，保证用已知过去信息估计未来未知信息的可行性。最后，将该类分数过程引入了金融数学，研究了投资者消费-投资问题和少数股东的投资者保护问题，利用数值分析的方法，解释了相关金融现象，并分析其背后原因：一方面，在金融数据的序列相关性下，更好的投资保护策略可以有效降低控股股东的股份份额，提高股票的收益率和债券利率，提高股票的波动率（当控股股东具有充分高的份额）；另一方面，金融数据的历史信息会对投资者产生积极和消极的影响，积极的记忆会提高控股股东的份额、股票收益率和波动率、市场债券利率，当股权充分集中时，积极的记忆会削弱投资者保护策略的作用，而当股权充分分散时，积极的记忆会增强投资者保护策略的作用。