G-Levy过程及其在金融中的应用

G-Levy processes are processes with independent and stationary increments under nonlinear expectations (i.e. G-expectations), most of the research on this processes only consider the case without jumps, i.e., G-Brownian motion. However, many models in finance contain jumps, combining with the practical problems in the financial market, this project is to study several important problems in this field: First, we define the stochastic integral with respect to G-Levy processes without small jumps, and get the corresponding Ito's formula by generalized Daniell-Stone method; We further study the existence and uniqueness theorem and the viable condition of stochastic differential equations driven by G-Levy processes; then we study the G-martingale representation theorem under G-Levy processes framework by constructing a reasonable norm; Finally, we study the central limit theorem under weak independent condition, and then establish the Levy-Ito decomposition and Levy-Khintchine formula for G-Levy processes which contain small jumps. We hope to get a series of basic resuls through the this project, and to provide the mathematical tools for the applications of G-levy processes in finance.

G-Levy过程是指非线性期望(即G-期望)下的平稳独立增量过程，目前关于此过程的研究大多考虑不含跳的情形， 即G-布朗运动。然而金融中的许多模型是带跳的，结合金融市场中的实际问题， 本项目旨在研究这一领域中几个重要的问题：首先我们对不含小跳的G-Levy过程定义随机积分，并推广Daniell-Stone技术来得到相应的Ito公式；进一步我们研究由G-Levy过程驱动的随机微分方程解的存在唯一性和生存性条件；接着我们拟构造合理的范数来研究G-Levy过程情形下的G-鞅表示定理；最后我们研究弱独立条件下的中心极限定理，从而建立包含小跳的G-Levy过程的Levy-Ito分解以及Levy-Khintchine公式。我们希望，通过该项目的研究，能得到一系列国际前沿、国内领先的基础理论成果，为G-Levy过程在金融中的应用提供数学工具。

G-Levy过程是次线性期望下的平稳独立增量过程，其特殊情形是G-布朗运动。G-布朗运动是彭实戈教授于2004-2008年期间基于研究股票波动率的不确定性提出的一类随机过程。本项目旨在研究带小跳的G-Levy过程的Levy-Ito分解、Levy-Khintchine公式以及其在金融中的应用。在对这一问题的研究过程中，本项目取得了下述成果：（1）得到了次线性期望下相互独立随机变量的充分必要条件，用此可以很容易推出G-Levy过程在不同区间上的跳不是相互独立的；（2）建立了由G-倒向随机微分方程解的结构，并证明了存在唯一性，这为不确定情形下金融衍生产品的定价提供了理论基础；（3）给出了线性G-倒向随机微分方程的显式解，并在此基础上证明了比较定理，另外我们还建立了Feynman-Kac公式和Girsanov变换，这些是随机分析和金融数学的基础理论；（4）用容度语言建立了G-框架下随机最优控制问题值函数的定义，得到了相应的动态规划原理以及HJB方程；（5）建立了G-扩散过程的不变测度族和遍历测度族，指出了这两类测度族是不同的。