非线性分层弹性薄壳建模与控制若干问题

We study the following problems of a hierarchy of nonlinear elastic shells from a three-dimensioal theory by Gamma-convergebce: a) Modeling and control of the bending of shells. By study the structure of infinitesmal isometriies we derive a mathematical molel of bending of shells. b) We study cavitation problems of radial deformations for membrane shells to obtain a critical tension and a critical displacement, respectively for comprssive materials and incompressive materials. c) We study the Gamma limit for compressive deformations of elastic shells. d) We study the Gamma limit models in crumpling of elastic shells to obtain a mathematical model. e) We study control problems for the above models of elastic shell: exact controllabilty and stabilization.

本项目研究分层薄壳理论建模与控制若干问题：a) 非线性弹性壳弯曲形变的建模与控制问题, 主要研究薄壳中面上无穷小等距的结构，从而给出薄壳弯曲形变的动力学模型，进而研究相应模型的控制问题；b)研究薄膜壳的空心成穴问题，即分层模型的膜伸展形变，讨论薄膜壳空心成穴问题与边界控制的关系；c) 研究薄壳压缩形变的Gamma极限；d) 研究薄壳的发皱形变，求得薄壳发皱形变的Gamma极限，确立薄壳发皱形变的动力学模型；e) 研究以上相关薄壳模型的精确能控性及反馈稳定性。

本项目研究具有重要工程应用背景的薄壳的建模与控制问题。我们研究了具有双曲中面薄壳应变张量方程的解得存在性，唯一性，以及光滑解在W^2解空 间的稠密性问题。双曲中面上应变张量方程是一个双曲方程，关于解得存在区域以及如何给出边界条件使该方程的解具有手续正则性是具有挑战性的问题。在这个问题上，我们获得了完美的结果。. 我们研究了薄壳中面的无穷小等距的性质，求得了薄壳中面的无穷小等距所满足的方程组，从而给出了薄壳中面的无穷小等距的特征。特别的，我们给出了薄壳弯曲模型的结构。. 研究了由内部是变系数声波边界由弯曲的薄板组成的一个振动模型的能控性。 用黎曼几何乘子技巧，在易于验证的几何条件下，我们确立了系统的精确能控性，所用控制由两部分组成：关于波振动的控制作用在边界上，关于板振动的控制作用在内部。. 我们求得了旋转薄壳线性应力张量方程的可解性。对旋转薄壳来讲，线性应力张量方程是一个混合型方程，在定义域的一部分上，方程是椭圆型的，而在定义域的另一部分上方程为双曲型的，在交界线上，方程为抛物型的。我们利用了Friedrichs的对称正算子理论求得了解得存在性，唯一性。从而给出了旋转薄壳线性应力张量方程的可解性。因此我们求得了旋转薄壳的分层极限模型公式。. 我们研究了一个弹性体在液体中的形变问题。液体的运动满足Navier–Stokes方程，而固体的运动满足一个变系数波方程，液体和固体的交界部分是弹性体的表面。我们在交界面设计反馈控制使得液体-固体系统指数稳定。. 我们求得了具有声学边界条件的耦合变系数波方程系统 边界精确能控性。利用几何乘子，我们求得了观测性估计，从而求得了精确能控性结果。