超空间上两类Dirac方程及其相关方程解的性质及应用

Superspaces are spaces equipped with both a set of commuting variables and a set of anti-commuting variables (generating the so-called Grassmann algebra) to describe the properties of bosons and fermions in Quantum Mechanics respectively. Therefore these superspaces are now used extensively in theoretical physics. Since 2007, Sommen et al have developed the Dirac equation and its related theory in Clifford analysis to superspaces. Based on their work, in the project, we will study the properties of solutions to the Dirac equation in the tensor product of the superspace and super spinor space、the Dunkl-Dirac equation in the tensor product of the superspace and super Clifford algebras and their related equations as well as their applications. The details of the project are as follows. Using generalized distribution theory, we will study the fundamental theory of these two equations corresponding to the Cauchy-Riemann equation in complex analysis. Applying the intertwining relations between the operators in superspace, we will investigate Almansi type expansions for solutions to these two equations and their related equations, so as to build the connections between the functions defined in superspace. By use of Almansi type expansions and the methods in functions analysis, partial differential equations and boundary value problems in superspace are considered. This will lead to effective approaches from hypercomplex function theory to study partial differential equations.

超空间既包含可交换变量又包含反交换变量(Grassmann代数的生成元)， 刻画了量子力学中玻色子和费米子的性质, 因此被广泛应用于理论物理学中。自2007年以来, Sommen等将Clifford分析中的Dirac方程及相关理论推广到超空间上。在此基础上，本项目将研究在超空间和超旋量空间张成空间上的Dirac方程、超空间和超Clifford代数张成空间上的Dunkl-Dirac方程，及其相关方程解的性质及应用。具体内容如下: 运用广义分布理论，研究这两类方程相对复分析中Cauchy-Riemann方程的基本理论。利用算子之间的缠绕关系，研究这两类方程及相关方程解的Almansi型展开，建立超空间上函数之间的联系。运用Almansi型展开，借鉴泛函分析中的方法研究超空间上的偏微分方程及边值问题，探索利用超复函数理论研究偏微分方程的有效方法。

超空间既包含可交换变量又包含反交换变量， 分别刻画了量子力学中玻色子和费米子的性质, 因此被广泛应用于理论物理学。 自2007年以来, Sommen等将Clifford分析中的Dirac方程及其相关理论推广到超空间上。在此基础上，本项目研究了超空间上Dunkl-Dirac方程、超旋量空间上Dirac方程及其相关方程解的性质及应用。 第一，运用广义分布理论，研究了超Dunkl-Dirac方程和超旋量空间上Dirac方程及其相关方程解的基本性质，如Cauchy-Pompeiu公式、Painleve定理、唯一性定理等。从而，丰富了超空间上函数的基本理论，促进了Clifford分析的发展。第二，用算子复合法、Normalized系法、高阶Teodorescu算子法研究了Clifford 分析、超空间上Clifford分析、超空间上Dunkl-Clifford分析、超旋量空间上Clifford分析中的Almansi型展开，建立了Clifford分析中偏微分方程解之间的联系。第三，用Almansi型展开，讨论了超空间上函数的基本性质；构造了超空间上偏微分方程的解；研究了Clifford分析中Riemann型边值问题、Riquier问题等边值问题。探究了超空间上偏微分方程及边值问题的新解法，促进了高维空间上偏微分方程理论的应用与发展。本项目已发表7篇期刊论文，其中5篇论文发表在SCI期刊。