几个椭圆方程解的Liouville性质及其相关研究

Liouville property for partial differential equations means that the solution to equation is trivial. It can be used to derive Harnack inequality.It can also derive pointwise a priori estimates in conjunction with rescaling argument (also called the "blow up" method), or deduce singularities and decay estimates for solutions. So it's a powerful tool in partial differential equations. We will investigate and generalize Liouville type theorem to solve the following problems by method of maximum principle, integration by parts on vector and moving plane, etc.. The first one is Liouville property and singularity about Hessian operator in classic geometry.The second one are those on Heisenberg group, including semilinear equations and fully nonlinear CR invariant equations. At last, we will study the uniqueness of smooth solutions to L_p Minkowski problem which comes from convex geometry.. The results of this project will contribute to the study of regularities for fully nonlinear equations, CR equations and degenarated Minkowski problem. Those can also push on the study of public issue.

偏微分方程解的Liouville性质是指解具有某种平凡性质，它可以用来推导Harnack不等式,也可以结合爆破技巧来做解的先验估计、奇性分析和衰减估计等，是处理方程的一个强有力工具。本项目着重结合和发展Liouville的主要思想，用极值原理、向量场积分估计以及移动平面等方法来解决以下问题：一是精典几何里Hessian算子的相关Liouville性质以及奇性分析；二是Heisenberg群上半线性方程以及完全非线性CR不变方程的进一步探索；三是来源于凸几何的L_p Minkowski问题光滑解的唯一性。. 该项目的成果将有助于研究完全非线性方程，CR方程以及退化Minkowski问题的正则性，并可推进相关公开问题的研究。

偏微分方程解的Liouville型定理在方程解的正则性和存在性研究中有着非常重要的作用，一直是该领域专家关注的热点问题。偏微分方程解的Liouville型定理可以用来推导解的Harnack不等式,也可以结合爆破技巧来做解的先验估计、奇性分析和衰减估计，是处理方程的一个强有力工具。本项目利用先验估计、连续性方法、极值原理（包括常秩定理）、分部积分、变分技巧等方程和分析里的经典手法得到了一类椭圆偏微分方程的解的性质，包括唯一性、存在性、正则性以及凸性。利用这些性质，我们得到了如下重要进展（1）研究了p-laplace算子超定边界问题的解的对称性，说明该问题的解只能是球，这是一类刚性问题;（2）研究了凸几何中的几类泛函的L_p Minkowski问题解的存在性、唯一性，证明了光滑情形下q-扭转刚度在p>1,q>1时L_p Minkowski问题解的唯一性;（3）得到了共形几何中一般流形上k-Yamabe型问题解的唯一性等。这些结果某种程度上都是偏微分方程解的Liouville型定理。