分圆多项式的算术性质及相关问题的研究

It is a classical and neoteric problem in algebraic number theory to investigate the arithmetic properties of cyclotomic polynomials. The cyclotomic polynomials are closely related to the cyclotomic fields, finite fields, coding theory, elliptic curve and have many valuable applications. This project is mainly focused on the flatness, height and maximum gap of cyclotomic polynomials. It mainly includes the following parts: (1)We will continue to study the flatness of ternary and quaternary cyclotomic polynomials and give complete classifications in some cases. We will investigate the existence of flat cyclotomic polynomials of order five and higher and solve the conjectures of D. Broadhurst and S. Elder. (2)We will study the arithmetic properties of a class of ternary cyclotomic polynomials whose heights are less than 4 and give necessary and sufficient conditions such that A(pqr)=1,2,3,respectively. (3)We will give exact formulas of the maximum gap and the number of maximum gaps for ternary cyclotomic polynomials. Furthermore, we will investigate the maximum gaps of cyclotomic polynomials of order four and higher and solve the related conjectures. It is hoped that the results obtained in this project can unify some classical results and enrich the algebraic number theory. The study of the project will have important theoretical significance and application value.

分圆多项式是代数数论中古典而又新颖的课题。它在分圆域中的素理想分解、有限域、编码论、椭圆曲线等方面有着广泛的应用。本项目研究三阶以及更高阶分圆多项式的平坦性、高度、系数最大间距等问题。具体如下：(1)研究几类满足条件的三阶和四阶分圆多项式的系数分布问题，进一步刻画它们的平坦性，探究五阶以及更高阶平坦分圆多项式的存在性，解决D.Broadhurst，S.Elder等人提出的猜想；(2)研究一类高度小于4的三阶分圆多项式，给出其高度分别为1，2，3的充要条件；(3)研究分圆多项式系数的最大间距以及最大间距的个数问题，推广H.Hoog，P.Moree等人的结果，给出三阶分圆多项式的最大间距以及个数的完整结论，探究四阶及更高阶分圆多项式的最大间距以及个数问题。希望本项目所得结果能统一已知的一些经典结果，丰富分圆多项式的理论体系，进一步推广分圆多项式在代数数论等方面的应用。

分圆多项式是代数数论中古典而又新颖的课题，它在正n边形的尺规作图、格基密码、韦德伯恩小定理、狄利克雷定理的证明等方面有着重要的应用，关于它的研究有着悠久的历史。本项目研究了三阶以及更高阶分圆多项式的平坦性、高度、系数最大间距和（逆）酉分圆多项式的系数性质等相关数论问题。具体如下：（1）研究了几类满足一定条件的三阶以及更高阶分圆多项式的系数性质，给出了它们为平坦多项式的充分必要条件，部分解决了D. Broadhurst，S.Elder等人提出的相关猜想。（2）研究了分圆多项式的高度问题，证明了如果Andrica猜想成立，那么任意正整数都可以作为某个分圆多项式的最大系数；探究了一类高度大于1小于4的三阶分圆多项式的系数性质；改进了N. Kaplan给出的x^n-1的因子高度上界。（3）研究了分圆多项式的最大间距以及最大间距个数问题，给出了一类三阶分圆多项式的最大间距及个数的计算公式。（4）研究了（逆）酉分圆多项式的系数性质，证明了任意整数都可以作为（逆）酉分圆多项式的系数。本项目所得结果丰富了分圆多项式的理论体系，进一步推广了分圆多项式在代数数论等方面的应用。