微分方程的时空区域分解方法及粗空间技术研究

Due to the fast development of supercomputers in our country, solving complicated systems of transient differential equations by high performance and scalable methods has been paid much more attention. Based on domain decomposition methods, associating with time-parallel methods and coarse corrections, our project’s aim is to construct and analyze new scalable space-time domain decomposition methods: Based on domain decomposition methods, design new coarse spaces for time independent problem and time dependent problem, and compare with other coarse spaces in references; Design and analyze new time-parallel methods for time-periodic parabolic optimal control problem, which has many applications in engineering, by using the Parareal method and the Schwarz method; Design space-time parallel methods based on the nonoverlapping domain decomposition methods and the Parareal method, and provide the convergence results for two subdomain case and many subdomain case; Design new space-time coarse spaces to construct scalable space-time parallel methods, and provide the general theoretical analysis; A series of extensible parallel libraries will finally be studied or developed, and we also simulate the model problem and realistic application. This project filling with scientific meanings, will improve the theory of the scalable space-time domain decomposition methods, and also provide the key idea for designing algorithms.

随着我国超级计算机的高速发展，大型复杂瞬态微分方程的高性能可扩展求解受到人们广泛重视。本项目基于区域分解方法，同时引入时间并行方法和粗空间技术，设计和分析新型高性能可扩展时空并行方法。针对区域分解方法，设计新型粗空间，对稳态问题和时间相关问题分别探讨粗空间在空间变量并行策略中的机理，并与文献中的粗空间进行比较；对具有实际应用背景的时间周期抛物方程最优控制问题，分别利用Parareal方法和Schwarz方法设计和分析新型时间并行策略；利用非重叠型区域分解波形松弛方法和Parareal方法，设计新型时空并行方法，给出在空间两子域和多子域情形下的收敛性分析，并引入时空粗空间技术，构造和分析具有可扩展性的时空并行方法；最后，编写一系列高效的并行函数库，对模型问题和实际应用进行有效的并行数值模拟。本项目的研究具有重要的科学意义，将完善具有可扩展性的时空并行区域分解方法理论，给出算法设计的关键思路。

随着我国超级计算机的高速发展，大型复杂瞬态微分方程的高性能可扩展求解受到人们广泛重视。本项目在并行计算机体系结构下，针对时间相关偏微分方程，基于区域分解方法，同时引入时间并行方法和粗空间技术，研究了具有可扩展性的时间并行方法和时空并行方法等高性能算法，主要包括Schwarz类区域分解方法的粗空间技术、Parareal 类时间并行方法，以及时空并行区域分解方法及粗空间技术等，取得的主要结果如下：首先，针对区域分解方法，设计新型粗空间，对稳态问题和时间相关问题分别探讨了粗空间在空间变量并行策略中的机理，建立了粗空间理论分析框架，给出了收敛性理论结果和空间可扩展的数值结果，并与文献中的粗空间在理论和数值实验两个方面进行比较，表明新的粗空间的优越性；对具有实际应用背景的时间周期抛物方程最优控制问题，分别利用Parareal方法和Schwarz方法设计和分析新型时间并行策略，分别给出了两种方法的收敛性分析和数值结果；利用重叠型和非重叠型区域分解波形松弛方法和Parareal方法，设计了两种新型时空并行方法，针对初值模型问题，给出了在空间两子域和多子域情形下的收敛性分析，给出了在有界时间下的超线性收敛结果，同时，进一步设计时空粗空间技术，构造和分析了具有可扩展性的时空并行方法，并平衡时间和空间方向的粗空间维数，使得新算法具有时空可扩展性；最后，编写了一系列高效的函数库，对模型问题和实际应用进行有效的并行数值模拟。本项目在执行过程中，按照项目申请书拟定的研究计划实施，完成了项目任务书中拟定的主要研究内容，并取得了预期的研究成果。本项目的研究进一步完善具有可扩展性的时空并行区域分解方法理论，给出算法设计的关键思路，促进相关技术方法的进步，为实际应用领域提供了高性能算法方法论和理论基础。