无界区域问题的人工边界方法及区域分解算法研究

Investigation on numerical methods for some problems in unbounded domains has been one of hotspot fields in science and engineering computation recently. In this project，some 3-D problems with application background，such as time-harmonic electromagnetic wave problems，propagation and scattering of acoustics wave，multscale electromagnetic problems with small periodic media in unbounded domains are studied. By means of the principle of natural boundary reduction and series expension of special functions，we study the exact and approximate artificial boundary conditions for some problems in unbounded domains above and their numerical methods，analyse the relation between numerical error and the artificial boundary condition、the location of artificial boundary，and design some high-performance algorithms. We also investigate the domain decomposition method based on artificial boundary condition for exterior 3-D problems，and constuct the basic frame of domain decomposition algorithms to solve exterior 3-D problems. The project belongs to an active research field at present，it is helpful to solve problems in unbounded domains，and it is significant in theory and application.

无界区域问题数值方法的研究，是当前国内外科学与工程计算研究者关注的热点研究领域之一。本项目重点以一些具有实际背景的三维无界区域问题，如时谐电磁波问题、声波的传播与扩散、无界区域上小周期介质中的多尺度电磁问题等作为研究对象。应用自然边界归化原理及特殊函数的级数展开法，研究相应问题精确的或近似的人工边界条件及其数值算法；分析数值计算的误差与人工边界条件的精度、人工边界的位置之间的关系，提出一些高性能算法；研究三维外问题基于人工边界条件的区域分解算法，构建求解三维无界区域问题的区域分解算法的基本框架。本项目的研究内容属于目前国际上数值计算领域十分活跃的研究领域之一，它的成功研究将有效地推动无界区域问题数值计算问题的解决，具有十分重要的理论意义和应用价值。

外问题的数值计算方法的研究，是近年来国内外科学与工程计算研究者关注的热点研究领域之一。本项目主要研究了具有实际应用背景的一些问题，如依赖时间外问题、各向异性Helmholtz问题、Schrödinger方程外问题、Klein-Gordon方程问题、二维Burgers方程问题、时谐电磁波问题、声波的传播与扩散，以及孔隙弹性问题的Biot模型、界面条件的Navier-Stokes/Darcy模型等作为研究对象，应用自然边界归化思想，并借助于球谐函数、椭球函数、马丢函数的级数展开法，研究了上述问题精确的或近似的、简单且易于计算的人工边界条件及其数值算法；分析数值计算的误差与人工边界条件的精度、位置之间的关系，设计出一些高精度的数值算法；研究了如何应用人工边界条件将有界区域的区域分解算法应用于求解无界区域问题，建立求解外问题基于自然边界归化的区域分解算法的基本框架。我们还研究了孔隙弹性问题的Biot模型的虚拟有限元方法、界面条件的Navier-Stokes/Darcy模型的两网格有限元方法与精确保持无散度有限元方法，算法对粗细网格尺寸的要求相对弱，并得到了最优误差估计，数值试验验证了理论结果。本课题是目前国际上十分活跃的研究领域，它的研究有效地推动无界区域外问题的数值计算问题的解决，使得对外问题的人工边界方法、无界区域问题基于自然边界归化的区域分解算法的研究保持国内外领先地位。设计的算法属于目前求解外问题最为有效的高性能算法，具有十分重要的理论意义和应用前景。