李代数，量子群及其在组合数学中的应用

Nowadays as Lie algebra theory and quantum groups have been widely used in many branches of mathematics and physics, they have been developed very well. The study of Lie algebra theory now focuses on some Lie algebras (not necessarily semisimple or finite dimensional) with good background. The program of this grant application will study structure and representations of such Lie algebras including Kac-Moody algebras, Galeilei algebras, superelliptic Lie algebras, n-point Virasoro algebras, and their applications to algebraic combinatorics. We will continue to study irreducible modules (we already have a lot of very good results on this aspect), at the same time we will start applying known irreducible modules to algebraic combinatorics. Also we will find applications to other related mathematical and physical problems.

近年来，由于许多数学与物理分支对李代数，量子群这些有力工具的需求，李代数与量子群理论得到了很好的发展。当今李代数的重点研究集中在一些有好背景的李代数上，不一定有限维，也不一定半单。本项目将侧重于具有物理背景和理论意义的几类李代数(包括Kac-Moody代数, 伽利略代数, 超椭圆李代数， n-点Virasoro代数) 的结构与表示以及在代数组合数学中的应用的研究。一方面我们将继续研究这些代数的不可约表示（已经有一些很好的研究结果)，另一方面我们将开始应用这些不可约表示到代数组合数学中，从而为利用代数方法解决物理及相关的数学问题提供新的方法与途径。

李代数的无限维表示是代数学中一个极为重要的分支，多年来一直是李代数及代数学中非常活跃的研究方向。李代数的无限维表示融会了代数学与几何学中多种分支的研究方法，同时也揭示了其他数学分支之间的深层联系。.本项目就以李代数的不可约表示为研究中心，侧重对具有物理背景的李代数，包括仿射李代数，Cartan型李代数，Virasoro代数，超椭圆李代数等，进行不可约表示的研究，探索其在组合数学中的应用。.在该项目执行的四年时间里，我们共发表学术论文18篇，见“研究成果”一栏。其中“Mosc. Math. J.”“Commun. Contemp. Math.”，“Arkiv för Matematik”和“J. Algebra”， “SCIENCE CHINA Mathematics”为高质量的国际数学杂志。主要解决了以下几个问题。..1. 确定了有限维半单Leibniz 代数的结构和一些性质。.2. 研究了(a, d)-反幻矩阵存在的必要条件、性质和构造方法，得到了一些有用的定理，完善其理论。研究了(a, d)-(行)列反幻矩阵与(m, k)-rectangles之间的关系。.3. 应用(a, d)-(行)列反幻矩阵和(m, k)-rectangles的结果得到了正则图因子分解和因子填充的H-反超幻问题。.4. 确定了Heisenberg-Virasoro代数上Whittaker模的不可约性的充要条件。.5.利用交换代数的方法，确定了Witt代数的在Cartan子代数上是有限生成的模的所有不可约Witt模。.6.确定了仿射Kac-Moody代数在Cartan子代数的范包络代数上的模结构，得到了一些仿射Kac-Moody代数的不可约非权表示。.7. 完全确定了Witt代数的所有局部自同构和2-局部自同构。.8. 完全确定了正特征Jacobson-Witt代数的所有2-局部导子。.9. 完全确定了Witt代数的所有2-局部导子。.10. 完全确定了mirror-twisted Heisenberg-Virasoro代数上单的Harish-Chandra模和单的光滑模。